미적분 예제

${(3 x + 2)}^{2} e^{5 x} + \sin (3 x)$

단계 1

${(3 x + 2)}^{2}$ 을 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x + 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 x + 2) (3 x + 2)$ 를 전개합니다.

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단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x + 2) + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x + 2)) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(3 x (3 x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.3

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 3 x \cdot 2 + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 2 (3 x) + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 2 \cdot 2) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.1.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 6 x + 6 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 3.2

$6 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)]$

단계 4

합의 법칙에 의해 $(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + \sin (3 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5

$\frac{d}{d x} [(9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 5.1

$f (x) = 9 x^{2} + 12 x + 4$ , $g (x) = e^{5 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 5.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.3

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 12 x + 4] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.5

합의 법칙에 의해 $9 x^{2} + 12 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.6

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x^{2}$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.7

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.8

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.10

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.11

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.12

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$(9 x^{2} + 12 x + 4) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.13

$9 x^{2} + 12 x + 4$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$5 \cdot (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (9 (2 x) + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.14

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.15

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 5.16

$18 x + 12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

단계 6

$\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 6.1.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 6.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

단계 6.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 6.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) (3 \cdot 1)$

단계 6.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + \cos (3 x) \cdot 3$

단계 6.5

$\cos (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$5 (9 x^{2} + 12 x + 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(5 (9 x^{2}) + 5 (12 x) + 5 \cdot 4) e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

단계 7.2

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x + 12) + 3 \cos (3 x)$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (9 x^{2}) e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4

항을 묶습니다.

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단계 7.4.1

$9$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 5 (12 x) e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.2

$12$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 5 \cdot 4 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + e^{5 x} \cdot 12 + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.4

$e^{5 x}$ 의 왼쪽으로 $12$ 이동하기

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + e^{5 x} (18 x) + 12 \cdot e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.5

$60 x e^{5 x}$ 를 $e^{5 x} (18 x)$ 에 더합니다.

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단계 7.4.5.1

$e^{5 x}$ 를 옮깁니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 60 x e^{5 x} + 18 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.5.2

$60 x e^{5 x}$ 를 $18 x e^{5 x}$ 에 더합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 20 e^{5 x} + 12 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

단계 7.4.6

$20 e^{5 x}$ 를 $12 e^{5 x}$ 에 더합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

단계 7.5

항을 다시 정렬합니다.

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$

단계 7.6

$45 e^{5 x} x^{2} + 78 e^{5 x} x + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$45 x^{2} e^{5 x} + 78 x e^{5 x} + 32 e^{5 x} + 3 \cos (3 x)$