미적분 예제

$(9 x \sec (3 x^{2} - 7)) (\tan (3 x))$

단계 1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$ 입니다.

$9 \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)]$

단계 2

$f (x) = x \sec (3 x^{2} - 7)$ , $g (x) = \tan (3 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 3

$f (x) = \tan (x)$ , $g (x) = 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $3 x$ 로 바꿉니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 3.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 3.3

$u_{1}$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 4

미분합니다.

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단계 4.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) \cdot 3 + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 4.3.2

$x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$9 (3 \cdot (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + \tan (3 x) \frac{d}{d x} [x \sec (3 x^{2} - 7)])$

단계 5

$f (x) = x$ , $g (x) = \sec (3 x^{2} - 7)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x \frac{d}{d x} [\sec (3 x^{2} - 7)] + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 6

$f (x) = \sec (x)$ , $g (x) = 3 x^{2} - 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $3 x^{2} - 7$ 로 바꿉니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 6.2

$\sec (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ 입니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 6.3

$u_{2}$ 를 모두 $3 x^{2} - 7$ 로 바꿉니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7]) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7

미분합니다.

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단계 7.1

합의 법칙에 의해 $3 x^{2} - 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 가 됩니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x^{2}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.5

$- 7$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 7$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 7$ 입니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x + 0)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 7.6

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) (6 x)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 9

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1} x^{1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{1 + 1} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 11

식을 간단히 합니다.

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단계 11.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) \cdot (6)) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 11.2

$\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \cdot (\sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \sec (3 x^{2} - 7) \frac{d}{d x} [x]))$

단계 12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7) \cdot 1))$

단계 13

$\sec (3 x^{2} - 7)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + \sec (3 x^{2} - 7)))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + \tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7))) + \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

단계 14.2

분배 법칙을 적용합니다.

$9 (3 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

단계 14.3

항을 묶습니다.

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단계 14.3.1

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 (x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x)) + 9 (\tan (3 x) (x^{2} (6 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)))) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

단계 14.3.2

$\tan (3 x) x^{2}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 9 (6 \cdot (\tan (3 x) x^{2}) \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7)) + 9 (\tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7))$

단계 14.3.3

$6$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$27 x \sec (3 x^{2} - 7) \sec^{2} (3 x) + 54 \tan (3 x) x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \tan (3 x) \sec (3 x^{2} - 7)$

단계 14.4

항을 다시 정렬합니다.

$27 x \sec^{2} (3 x) \sec (3 x^{2} - 7) + 54 x^{2} \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x) \tan (3 x^{2} - 7) + 9 \sec (3 x^{2} - 7) \tan (3 x)$