미적분 예제

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

단계 1

$f (v) = v^{- \frac{1}{2}}$ , $g (v) = 1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 는 $f' (g (v)) g' (v)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 1.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 1.3

$u_{1}$ 를 모두 $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 5

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 5.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6

미분합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6.2

분수를 통분합니다.

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단계 6.2.1

${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{{(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [1 - {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6.3

합의 법칙에 의해 $1 - {(\frac{v}{c})}^{2}$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

단계 6.4

$1$ 이 $v$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $v$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}])$

단계 6.5

$0$ 를 $\frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [- {(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6.6

$- 1$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $- {(\frac{v}{c})}^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$ 입니다.

$- \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}])$

단계 6.7

곱합니다.

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단계 6.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 6.7.2

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [{(\frac{v}{c})}^{2}]$

단계 7

$f (v) = v^{2}$ , $g (v) = \frac{v}{c}$ 일 때 $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ 는 $f' (g (v)) g' (v)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\frac{v}{c}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

단계 7.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 u_{2} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

단계 7.3

$u_{2}$ 를 모두 $\frac{v}{c}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

단계 8

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 8.1

$2$ 와 $\frac{v}{c}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{2 v}{c} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}])$

단계 8.2

항을 간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{2 v}{c}$ 에 $\frac{1}{2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 v}{c (2 {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

단계 8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d v} [\frac{v}{c}]$

단계 8.3

$\frac{1}{c}$ 은 $v$ 에 대해 일정하므로 $v$ 에 대한 $\frac{v}{c}$ 의 미분은 $\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v]$ 입니다.

$\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})} (\frac{1}{c} \frac{d}{d v} [v])$

단계 8.4

$\frac{1}{c}$ 에 $\frac{v}{c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}})}$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{c (c ({(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}))} \frac{d}{d v} [v]$

단계 9

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{v}{c^{1} c {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

단계 10

$c$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{v}{c^{1} c^{1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

단계 11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{v}{c^{1 + 1} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

단계 12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d v} [v]$

단계 13

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 는 $n v^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

단계 14

식을 간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - {(\frac{v}{c})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

단계 14.2

$\frac{v}{c}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{v}{c^{2} {(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})}^{\frac{3}{2}}}$