미적분 예제

$\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$

단계 1

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{\sin (t)}{2 \sin (2 t)}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}]$

단계 2

$\frac{\sin (t)}{\sin (2 t)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

단계 3

$\sin (t)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\frac{\sin (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}]$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\sin (t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \frac{1}{\sin (2 t)}]$

단계 4.2

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ 을 $\csc (2 t)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [\sin (t) \csc (2 t)]$

단계 5

$f (t) = \sin (t)$ , $g (t) = \csc (2 t)$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\csc (2 t)] + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 6

$f (t) = \csc (t)$ , $g (t) = 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 6.2

$\csc (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u) \cot (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 6.3

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 7

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- \csc (2 t) \cot (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 7.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \frac{d}{d t} [t]) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 7.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t) \cdot 1) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 7.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

단계 8

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\cos (t)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \csc (2 t) \cos (t))$

단계 9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (t) (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t))) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$\sin (t)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\sin (t)}{2} (- 2 \csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.2

$- 2$ 와 $\frac{\sin (t)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \sin (t)}{2} (\csc (2 t) \cot (2 t)) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.3

$\csc (2 t)$ 와 $\frac{- 2 \sin (t)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2} \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.4

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t))}{2}$ 와 $\cot (2 t)$ 을 묶습니다.

$\frac{\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.5

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.5.1

$\csc (2 t) (- 2 \sin (t)) \cot (2 t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 (1)} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t))}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)}{1} + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.5.2.4

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{1}{2} (\csc (2 t) \cos (t))$

단계 9.2.6

$\csc (2 t)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t)}{2} \cos (t)$

단계 9.2.7

$\frac{\csc (2 t)}{2}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\csc (2 t) (- \sin (t)) \cot (2 t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.3

항을 다시 정렬합니다.

$- \cot (2 t) \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.1

$\cot (2 t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \csc (2 t) \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.2

$\csc (2 t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.3

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)} \cdot \frac{1}{\sin (2 t)}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.3.1

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ 에 $\frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t)}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.3.2

$\sin (2 t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.3.3

$\sin (2 t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{1} (2 t) \sin^{1} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{{\sin (2 t)}^{1 + 1}} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} \sin (t) + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.4

$\sin (t)$ 와 $\frac{\cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\sin (t) \cos (2 t)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.5

배각 공식을 사용하여 $\cos (2 x)$ 를 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin^{2} (2 t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.6

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t) \cos (t))}^{2}} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.6.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.6.2.1

$2 \sin (t) \cos (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{{(2 \sin (t))}^{2} \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.6.2.2

$2 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{2^{2} \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.6.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.7

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.7.1

$4 \sin^{2} (t) \cos^{2} (t)$ 에서 $\sin (t)$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.7.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\sin (t) (2 \cos^{2} (t) - 1)}{\sin (t) (4 \sin (t) \cos^{2} (t))} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.7.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{2 \cos^{2} (t) - 1}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.8

코사인 배각공식을 적용합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\csc (2 t) \cos (t)}{2}$

단계 9.4.9

$\csc (2 t)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{\sin (2 t)} \cos (t)}{2}$

단계 9.4.10

$\frac{1}{\sin (2 t)}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{\sin (2 t)}}{2}$

단계 9.4.11

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.11.1

사인 배각 공식을 적용합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

단계 9.4.11.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.11.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{\cos (t)}{2 \sin (t) \cos (t)}}{2}$

단계 9.4.11.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{\frac{1}{2 \sin (t)}}{2}$

단계 9.4.12

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$

단계 9.4.13

$\frac{1}{2 \sin (t)} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.4.13.1

$\frac{1}{2 \sin (t)}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{2 \sin (t) \cdot 2}$

단계 9.4.13.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\cos (2 t)}{4 \sin (t) \cos^{2} (t)} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.1

분수를 나눕니다.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} \cdot \frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.2

$\frac{\cos (2 t)}{\sin (t)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.3

$\cos (2 t)$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\frac{\cos (2 t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.4.1

$\cos (2 t)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \frac{1}{\sin (t)})) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.4.2

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{1}{4 \cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.5

$1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{4 (\cos^{2} (t) \cdot 1)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.6

분수를 나눕니다.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.7

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 을 $\sec^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.8

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (\frac{1}{4} \sec^{2} (t) (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.9

$\frac{1}{4}$ 와 $\sec^{2} (t)$ 을 묶습니다.

$- (\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.10

$\frac{\sec^{2} (t)}{4} (\cos (2 t) \csc (t))$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.5.10.1

$\cos (2 t)$ 와 $\frac{\sec^{2} (t)}{4}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4} \csc (t)) + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.10.2

$\frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t)}{4}$ 와 $\csc (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4 \sin (t)}$

단계 9.5.11

분수를 나눕니다.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sin (t)}$

단계 9.5.12

$\frac{1}{\sin (t)}$ 을 $\csc (t)$ 로 변환합니다.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{1}{4} \csc (t)$

단계 9.5.13

$\frac{1}{4}$ 와 $\csc (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (2 t) \sec^{2} (t) \csc (t)}{4} + \frac{\csc (t)}{4}$