미적분 예제

$2 x {(12 - x)}^{3}$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x {(12 - x)}^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x {(12 - x)}^{3}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x {(12 - x)}^{3}]$

단계 2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(12 - x)}^{3}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x \frac{d}{d x} [{(12 - x)}^{3}] + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = 12 - x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $12 - x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 3.3

$u$ 를 모두 $12 - x$ 로 바꿉니다.

$2 (x (3 {(12 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [12 - x]) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $12 - x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ 가 됩니다.

$2 (x (3 {(12 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.2

$12$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $12$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $12$ 입니다.

$2 (x (3 {(12 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- x]$ 에 더합니다.

$2 (x (3 {(12 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (x (3 {(12 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.5

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2} \cdot 1) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2}) + {(12 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

단계 4.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2}) + {(12 - x)}^{3} \cdot 1)$

단계 4.9

${(12 - x)}^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2}) + {(12 - x)}^{3})$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (x (- 3 {(12 - x)}^{2})) + 2 {(12 - x)}^{3}$

단계 5.2

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 (x ({(12 - x)}^{2})) + 2 {(12 - x)}^{3}$

단계 5.3

$- 6 x {(12 - x)}^{2} + 2 {(12 - x)}^{3}$ 에서 $2 {(12 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$- 6 x {(12 - x)}^{2}$ 에서 $2 {(12 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(12 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(12 - x)}^{3}$

단계 5.3.2

$2 {(12 - x)}^{3}$ 에서 $2 {(12 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(12 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(12 - x)}^{2} (12 - x)$

단계 5.3.3

$2 {(12 - x)}^{2} (- 3 x) + 2 {(12 - x)}^{2} (12 - x)$ 에서 $2 {(12 - x)}^{2}$ 를 인수분해합니다.

$2 {(12 - x)}^{2} (- 3 x + 12 - x)$

단계 5.4

$- 3 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$2 {(12 - x)}^{2} (- 4 x + 12)$

단계 5.5

${(12 - x)}^{2}$ 을 $(12 - x) (12 - x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 ((12 - x) (12 - x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.6

FOIL 계산법을 이용하여 $(12 - x) (12 - x)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (12 (12 - x) - x (12 - x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (12 \cdot 12 + 12 (- x) - x (12 - x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (12 \cdot 12 + 12 (- x) - x \cdot 12 - x (- x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.7

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.1

$12$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$2 (144 + 12 (- x) - x \cdot 12 - x (- x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.2

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$2 (144 - 12 x - x \cdot 12 - x (- x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.3

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x - x (- x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.7.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.1.7

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (144 - 12 x - 12 x + x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.7.2

$- 12 x$ 에서 $12 x$ 을 뺍니다.

$2 (144 - 24 x + x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.8

분배 법칙을 적용합니다.

$(2 \cdot 144 + 2 (- 24 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.9.1

$2$ 에 $144$ 을 곱합니다.

$(288 + 2 (- 24 x) + 2 x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.9.2

$- 24$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(288 - 48 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 12)$

단계 5.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(288 - 48 x + 2 x^{2}) (- 4 x + 12)$ 를 전개합니다.

$288 (- 4 x) + 288 \cdot 12 - 48 x (- 4 x) - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.1

$- 4$ 에 $288$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 288 \cdot 12 - 48 x (- 4 x) - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.2

$288$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 - 48 x (- 4 x) - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 1152 x + 3456 - 48 \cdot - 4 x \cdot x - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 1152 x + 3456 - 48 \cdot - 4 (x \cdot x) - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 - 48 \cdot - 4 x^{2} - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.5

$- 48$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 48 x \cdot 12 + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.6

$12$ 에 $- 48$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 x^{2} (- 4 x) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 \cdot - 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.8

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.8.1

$x$ 를 옮깁니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.8.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.11.8.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.8.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.8.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x + 2 \cdot - 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.9

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x - 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 12$

단계 5.11.10

$12$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 1152 x + 3456 + 192 x^{2} - 576 x - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 5.12

$- 1152 x$ 에서 $576 x$ 을 뺍니다.

$- 1728 x + 3456 + 192 x^{2} - 8 x^{3} + 24 x^{2}$

단계 5.13

$192 x^{2}$ 를 $24 x^{2}$ 에 더합니다.

$- 1728 x + 3456 - 8 x^{3} + 216 x^{2}$