미적분 예제

$\cos (x) (2 x^{3} - \sin (x))$

단계 1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 2 x^{3} - \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - \sin (x)] + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{3} - \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\cos (x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$\cos (x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 2.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \sin (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$\cos (x) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 4

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$\cos (x) (6 x^{2} - \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + (2 x^{3} - \sin (x)) (- \sin (x))$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) + \cos (x) (- \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3

항을 묶습니다.

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단계 5.3.1

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.2

$\cos (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) + 2 x^{3} (- \sin (x)) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

단계 5.3.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

단계 5.3.7

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin (x) \sin (x)$

단계 5.3.8

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

단계 5.3.9

$\sin (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

단계 5.3.10

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

단계 5.3.11

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\cos (x) (6 x^{2}) - \cos^{2} (x) - 2 x^{3} \sin (x) + \sin^{2} (x)$

단계 5.4

항을 다시 정렬합니다.

$6 x^{2} \cos (x) - 2 x^{3} \sin (x) - \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$