미적분 예제

$(x) (22 - 2 x) (22 - 2 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$22 - 2 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} (22 - 2 x))]$

단계 1.2

$22 - 2 x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{d}{d x} [x ({(22 - 2 x)}^{1} {(22 - 2 x)}^{1})]$

단계 1.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{1 + 1}]$

단계 1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{d}{d x} [x {(22 - 2 x)}^{2}]$

단계 1.5

$f (x) = x$ , $g (x) = {(22 - 2 x)}^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [{(22 - 2 x)}^{2}] + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = 22 - 2 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $22 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (2 u \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.6.3

$u$ 를 모두 $22 - 2 x$ 로 바꿉니다.

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [22 - 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7

미분합니다.

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단계 1.7.1

합의 법칙에 의해 $22 - 2 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 가 됩니다.

$x (2 (22 - 2 x) (\frac{d}{d x} [22] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.2

$22$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $22$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $22$ 입니다.

$x (2 (22 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.3

$0$ 를 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 에 더합니다.

$x (2 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.4

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (2 (22 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.5

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x (- 4 (22 - 2 x) \frac{d}{d x} [x]) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 4 (22 - 2 x) \cdot 1) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.7

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.7.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2} \cdot 1$

단계 1.7.9

${(22 - 2 x)}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 4 (22 - 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8

간단히 합니다.

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단계 1.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x (- 4 \cdot 22 - 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x (- 4 \cdot 22) + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3

항을 묶습니다.

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단계 1.8.3.1

$- 4$ 에 $22$ 을 곱합니다.

$x \cdot - 88 + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 88$ 이동하기

$- 88 \cdot x + x (- 4 (- 2 x)) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.3

$- 2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$- 88 x + x (8 x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.4

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 88 x + 8 (x^{1} x) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 88 x + 8 (x^{1} x^{1}) + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 88 x + 8 x^{1 + 1} + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.3.7

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 88 x + 8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2}$

단계 1.8.4

항을 다시 정렬합니다.

$8 x^{2} + {(22 - 2 x)}^{2} - 88 x$

단계 1.8.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.8.5.1

${(22 - 2 x)}^{2}$ 을 $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ 로 바꿔 씁니다.

$8 x^{2} + (22 - 2 x) (22 - 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(22 - 2 x) (22 - 2 x)$ 를 전개합니다.

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단계 1.8.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 22 (22 - 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x (22 - 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$8 x^{2} + 22 \cdot 22 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.8.5.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.8.5.3.1.1

$22$ 에 $22$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 484 + 22 (- 2 x) - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.2

$- 2$ 에 $22$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 2 x \cdot 22 - 2 x (- 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.3

$22$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 x (- 2 x) - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.5

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 1.8.5.3.1.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.5.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 88 x$

단계 1.8.5.3.1.6

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$8 x^{2} + 484 - 44 x - 44 x + 4 x^{2} - 88 x$

단계 1.8.5.3.2

$- 44 x$ 에서 $44 x$ 을 뺍니다.

$8 x^{2} + 484 - 88 x + 4 x^{2} - 88 x$

단계 1.8.6

$8 x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$12 x^{2} + 484 - 88 x - 88 x$

단계 1.8.7

$- 88 x$ 에서 $88 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 12 x^{2} + 484 - 176 x$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{2} + 484 - 176 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{2}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$24 x + \frac{d}{d x} [484] + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

단계 2.3

$484$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $484$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $484$ 입니다.

$24 x + 0 + \frac{d}{d x} [- 176 x]$

단계 2.4

$\frac{d}{d x} [- 176 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$- 176$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 176 x$ 의 미분은 $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 x + 0 - 176 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 x + 0 - 176 \cdot 1$

단계 2.4.3

$- 176$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 x + 0 - 176$

단계 2.5

$24 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 24 x - 176$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $24 x - 176$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [24 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $24 x$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 176]$

단계 3.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 176]$

단계 3.2.3

$24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$24 + \frac{d}{d x} [- 176]$

단계 3.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.1

$- 176$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 176$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 176$ 입니다.

$24 + 0$

단계 3.3.2

$24$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 24$

단계 4

$24$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $24$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $24$ 입니다.

$f^{4} (x) = 0$