미적분 예제

$\sin^{6} (5 x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

단계 1.1.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 {u_{1}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

단계 1.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

단계 1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.2.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.2.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3.2

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) \cdot 1$

단계 1.3.4

$30$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$30$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ 의 미분은 $30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ 입니다.

$30 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$

단계 2.2

$f (x) = \sin^{5} (5 x)$ , $g (x) = \cos (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$30 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$30 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.4

지수를 더하여 $\sin^{5} (5 x)$ 에 $\sin (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.1

$\sin (5 x)$ 를 옮깁니다.

$30 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.4.2

$\sin (5 x)$ 에 $\sin^{5} (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 2.4.2.1

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.4.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.4.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$30 (\sin^{6} (5 x) (- \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 (\sin^{6} (5 x) (- (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.5.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.5.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (\sin^{6} (5 x) (- 5 \cdot 1) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.5.4

식을 간단히 합니다.

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단계 2.5.4.1

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.5.4.2

$\sin^{6} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$30 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)])$

단계 2.6

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

단계 2.6.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

단계 2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]))$

단계 2.7

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cdot \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 2.8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 2.8.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 2.8.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos (5 x) \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 2.9

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.10

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 {\cos (5 x)}^{1 + 1} \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

단계 2.13

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 5 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

단계 2.14

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.15

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x) \cdot 1)$

단계 2.16

$25$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

단계 2.17

간단히 합니다.

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단계 2.17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$30 (- 5 \sin^{6} (5 x)) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

단계 2.17.2

항을 묶습니다.

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단계 2.17.2.1

$- 5$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 30 (25 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x))$

단계 2.17.2.2

$25$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$- 150 \sin^{6} (5 x) + 750 \cos^{2} (5 x) \sin^{4} (5 x)$

단계 2.17.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) - 150 \sin^{6} (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$750$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $750 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ 의 미분은 $750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)]$ 입니다.

$750 \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = \sin^{4} (5 x)$ , $g (x) = \cos^{2} (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (5 x)] + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.3

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $\cos (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $\cos (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.4

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.4.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.4.3

$u_{2}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{4} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.7

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.7.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ 는 $n {u_{3}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.7.3

$u_{3}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.8

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sin (u_{4})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.8.2

$\sin (u_{4})$ 를 $u_{4}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{4})$ 입니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (u_{4}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.8.3

$u_{4}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.9

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.11

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.12

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (2 \cos (5 x) (- 5 \sin (5 x))) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.13

$- 5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x) \sin (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.14

지수를 더하여 $\sin^{4} (5 x)$ 에 $\sin (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.14.1

$\sin (5 x)$ 를 옮깁니다.

$750 (\sin (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.14.2

$\sin (5 x)$ 에 $\sin^{4} (5 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.14.2.1

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$750 (\sin^{1} (5 x) \sin^{4} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.14.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$750 ({\sin (5 x)}^{1 + 4} (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.14.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.15

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.16

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (4 \sin^{3} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.17

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.18

지수를 더하여 $\cos^{2} (5 x)$ 에 $\cos (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.18.1

$\cos (5 x)$ 를 옮깁니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.18.2

$\cos (5 x)$ 에 $\cos^{2} (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 3.2.18.2.1

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.18.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + {\cos (5 x)}^{1 + 2} (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.18.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + \cos^{3} (5 x) (20 \sin^{3} (5 x))) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.2.19

$\cos^{3} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $20$ 이동하기

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) + \frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 150 \sin^{6} (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$- 150$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 150 \sin^{6} (5 x)$ 의 미분은 $- 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$ 입니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 \frac{d}{d x} [\sin^{6} (5 x)]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{6}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{5}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{6}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 3.3.2.2

$n = 6$ 일 때 $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ 는 $n {u_{5}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 {u_{5}}^{5} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 3.3.2.3

$u_{5}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

단계 3.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{6}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sin (u_{6})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 3.3.3.2

$\sin (u_{6})$ 를 $u_{6}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{6})$ 입니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (u_{6}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 3.3.3.3

$u_{6}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

단계 3.3.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))$

단계 3.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))$

단계 3.3.6

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))$

단계 3.3.7

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (6 \sin^{5} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))$

단계 3.3.8

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 150 (30 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x))$

단계 3.3.9

$30$ 에 $- 150$ 을 곱합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x)) + 20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

단계 3.4

간단히 합니다.

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단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$750 (\sin^{5} (5 x) (- 10 \cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

단계 3.4.2

항을 묶습니다.

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단계 3.4.2.1

$- 10$ 에 $750$ 을 곱합니다.

$- 7500 (\sin^{5} (5 x) (\cos (5 x))) + 750 (20 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

단계 3.4.2.2

$20$ 에 $750$ 을 곱합니다.

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)) - 4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$

단계 3.4.2.3

$- 7500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ 에서 $4500 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = - 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

합의 법칙에 의해 $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x) + 15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

$- 12000$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12000 \sin^{5} (5 x) \cos (5 x)$ 의 미분은 $- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)]$ 입니다.

$- 12000 \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x) \cos (5 x)] + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.2

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.4

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{5} (5 x)]) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.6

$f (x) = x^{5}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.6.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.6.3

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.7

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.7.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.7.3

$u_{3}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.8

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.10

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.11

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (\sin^{5} (5 x) (- 5 \sin (5 x)) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.12

지수를 더하여 $\sin^{5} (5 x)$ 에 $\sin (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.12.1

$\sin (5 x)$ 를 옮깁니다.

$- 12000 (\sin (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.12.2

$\sin (5 x)$ 에 $\sin^{5} (5 x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.12.2.1

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12000 (\sin^{1} (5 x) \sin^{5} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.12.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12000 ({\sin (5 x)}^{1 + 5} \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.12.3

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- 12000 (\sin^{6} (5 x) \cdot - 5 + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.13

$\sin^{6} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$- 12000 (- 5 \cdot \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.14

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.15

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (5 \sin^{4} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x)))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.16

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + \cos (5 x) (25 \sin^{4} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.17

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.18

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) (\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x))) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) {\cos (5 x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.2.20

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + \frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$15000$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15000 \cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)$ 의 미분은 $15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$ 입니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x) \sin^{3} (5 x)]$

단계 4.3.2

$f (x) = \cos^{3} (5 x)$ , $g (x) = \sin^{3} (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin^{3} (5 x)] + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.3

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{4}$ 를 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ 는 $n {u_{4}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.3.3

$u_{4}$ 를 모두 $\sin (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.4

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{5}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sin (u_{5})] \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.4.2

$\sin (u_{5})$ 를 $u_{5}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{5})$ 입니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (u_{5}) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.4.3

$u_{5}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.5

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)])$

단계 4.3.7

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \cos (5 x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.7.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{6}$ 를 $\cos (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

단계 4.3.7.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{6}} [{u_{6}}^{n}]$ 는 $n {u_{6}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 {u_{6}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

단계 4.3.7.3

$u_{6}$ 를 모두 $\cos (5 x)$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]))$

단계 4.3.8

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = 5 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.3.8.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{7}$ 를 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (\frac{d}{d u_{7}} [\cos (u_{7})] \frac{d}{d x} [5 x])))$

단계 4.3.8.2

$\cos (u_{7})$ 를 $u_{7}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{7})$ 입니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (u_{7}) \frac{d}{d x} [5 x])))$

단계 4.3.8.3

$u_{7}$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])))$

단계 4.3.9

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))))$

단계 4.3.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) (5 \cdot 1))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.11

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (\cos (5 x) \cdot 5)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.12

$\cos (5 x)$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (3 \sin^{2} (5 x) (5 \cdot \cos (5 x))) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.13

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x) \cos (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.14

지수를 더하여 $\cos^{3} (5 x)$ 에 $\cos (5 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.14.1

$\cos (5 x)$ 를 옮깁니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.14.2

$\cos (5 x)$ 에 $\cos^{3} (5 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.14.2.1

$\cos (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{1} (5 x) \cos^{3} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.14.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 ({\cos (5 x)}^{1 + 3} (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.14.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (\cos^{4} (5 x) (15 \sin^{2} (5 x)) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.15

$\cos^{4} (5 x)$ 의 왼쪽으로 $15$ 이동하기

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cdot \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) (5 \cdot 1))))$

단계 4.3.16

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- \sin (5 x) \cdot 5)))$

단계 4.3.17

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (3 \cos^{2} (5 x) (- 5 \sin (5 x))))$

단계 4.3.18

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x)))$

단계 4.3.19

지수를 더하여 $\sin^{3} (5 x)$ 에 $\sin (5 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.19.1

$\sin (5 x)$ 를 옮깁니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.3.19.2

$\sin (5 x)$ 에 $\sin^{3} (5 x)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.19.2.1

$\sin (5 x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{1} (5 x) \sin^{3} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.3.19.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + {\sin (5 x)}^{1 + 3} (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.3.19.3

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x) + 25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + \sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 12000 (- 5 \sin^{6} (5 x)) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.3

항을 묶습니다.

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단계 4.4.3.1

$- 5$ 에 $- 12000$ 을 곱합니다.

$60000 \sin^{6} (5 x) - 12000 (25 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.3.2

$25$ 에 $- 12000$ 을 곱합니다.

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 (\sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)) + 15000 (15 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.3.3

$15$ 에 $15000$ 을 곱합니다.

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 (\cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)) + 15000 (\sin^{4} (5 x) (- 15 \cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.3.4

$- 15$ 에 $15000$ 을 곱합니다.

$60000 \sin^{6} (5 x) - 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) - 225000 (\sin^{4} (5 x) (\cos^{2} (5 x)))$

단계 4.4.3.5

$- 300000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ 에서 $225000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x)$ 을 뺍니다.

$60000 \sin^{6} (5 x) - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x)$

단계 4.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = - 525000 \sin^{4} (5 x) \cos^{2} (5 x) + 225000 \cos^{4} (5 x) \sin^{2} (5 x) + 60000 \sin^{6} (5 x)$