미적분 예제

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π}$

단계 1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2

분자의 극한을 구하세요.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.2

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \sin (x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.3

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} x^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.4

극한의 멱의 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - lim_{x \to 2 π} 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.5

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워질 때 상수값 $4 π^{2}$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{lim_{x \to 2 π} x \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.6

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2 π$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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단계 1.2.6.1

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 π \cdot \sin (lim_{x \to 2 π} x) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.6.2

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(lim_{x \to 2 π} x)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.6.3

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{2 π \cdot \sin (2 π) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7

답을 간단히 합니다.

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단계 1.2.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.2.7.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{2 π \cdot \sin (0) + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{2 π \cdot 0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.1.3

$2 π \cdot 0$ 을 곱합니다.

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단계 1.2.7.1.3.1

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{0 π + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.1.3.2

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$\frac{0 + {(2 π)}^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.1.4

$2 π$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{0 + 2^{2} π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.1.5

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{0 + 4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.2

$0$ 를 $4 π^{2}$ 에 더합니다.

$\frac{4 π^{2} - 4 π^{2}}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.2.7.3

$4 π^{2}$ 에서 $4 π^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.3

분모의 극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1

극한값을 계산합니다.

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단계 1.3.1.1

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - lim_{x \to 2 π} 2 π}$

단계 1.3.1.2

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워질 때 상수값 $2 π$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{0}{lim_{x \to 2 π} x - 2 π}$

단계 1.3.2

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$\frac{0}{2 π - 2 π}$

단계 1.3.3

$2 π$ 에서 $2 π$ 을 뺍니다.

$\frac{0}{0}$

단계 1.3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 1.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{0}{0}$

단계 2

$\frac{0}{0}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}}{x - 2 π} = lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.2

합의 법칙에 의해 $x \sin (x) + x^{2} - 4 π^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.3.1

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.3.4

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 π^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.5

$- 4 π^{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4 π^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4 π^{2}$ 입니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.6

간단히 합니다.

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단계 3.6.1

$x \cos (x) + \sin (x) + 2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + \sin (x) + 2 x}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.6.2

항을 다시 정렬합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - 2 π]}$

단계 3.7

합의 법칙에 의해 $x - 2 π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

단계 3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- 2 π]}$

단계 3.9

$- 2 π$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2 π$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2 π$ 입니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1 + 0}$

단계 3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to 2 π} \frac{x \cos (x) + 2 x + \sin (x)}{1}$

단계 4

$x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + 2 x + \sin (x)$

단계 5

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

단계 6

$x$ 가 $2 π$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot lim_{x \to 2 π} \cos (x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

단계 7

코사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + lim_{x \to 2 π} 2 x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

단계 8

$2$ 항은 $x$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + lim_{x \to 2 π} \sin (x)$

단계 9

사인이 연속이므로 극한 lim을 삼각함수 안으로 이동합니다.

$lim_{x \to 2 π} x \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

단계 10

$x$ 가 있는 모든 곳에 $2 π$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 π \cdot \cos (lim_{x \to 2 π} x) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

단계 10.2

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 lim_{x \to 2 π} x + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

단계 10.3

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (lim_{x \to 2 π} x)$

단계 10.4

$x$ 에 $2 π$ 을 대입하여 $x$ 의 극한을 계산합니다.

$2 π \cdot \cos (2 π) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

단계 11

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$2 π \cdot \cos (0) + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

단계 11.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 π \cdot 1 + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

단계 11.1.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 π + 2 (2 π) + \sin (2 π)$

단계 11.1.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 π + 4 π + \sin (2 π)$

단계 11.1.5

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$2 π + 4 π + \sin (0)$

단계 11.1.6

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 π + 4 π + 0$

단계 11.2

$2 π$ 를 $4 π$ 에 더합니다.

$6 π + 0$

단계 11.3

$6 π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 π$