미적분 예제

$\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec^{3} (x) d x$

단계 1

소거 공식을 적용합니다.

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sec (x) d x$

단계 2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 입니다.

$\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{π}{2}$ , $\frac{- π}{2}$ 일 때, $\frac{\tan (x) \sec (x)}{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}$

단계 3.1.2

$\frac{π}{2}$ , $\frac{- π}{2}$ 일 때, $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2}) - \frac{\tan (\frac{- π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

단계 3.1.3

간단히 합니다.

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단계 3.1.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (\frac{- π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

단계 3.1.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sec (\frac{- π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

단계 3.1.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (\frac{- π}{2}) |))$

단계 3.1.3.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2} + \frac{\ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2}$

단계 3.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{2}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3

$\tan (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ 입니다.

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단계 3.3.1

여섯 개의 삼각함수값이 알려진 두 각으로 $\frac{π}{2}$ 를 나눕니다.

$\frac{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.2

삼각함수의 합의 공식을 이용합니다.

$\frac{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.4

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.5

$\tan (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.6

$\tan (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.3.7.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.3.7.1.1

$- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ 을 곱합니다.

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단계 3.3.7.1.1.1

$\sqrt{3}$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.1.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.1.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.1.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.1.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.3.7.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.7.1.2.4.1

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.7.1.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.3.7.1.3.1

공약수로 약분합니다.

단계 3.3.7.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \sec (\frac{π}{2}) + \ln (\frac{| \sec (\frac{π}{2}) + \tan (\frac{π}{2}) |}{| \sec (- \frac{π}{2}) + \tan (- \frac{π}{2}) |})}{2} - \frac{\tan (- \frac{π}{2}) \sec (- \frac{π}{2})}{2}$

단계 3.3.7.3

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 3.3.8

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 3.4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

단계 4

$0$ 으로 나누기가 수식에 포함되어 있습니다. 수식이 정의되지 않습니다.

정의되지 않음