미적분 예제

$\cos (x^{5})$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.2

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u)$ 입니다.

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

단계 1.2

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \sin (x^{5}) (5 x^{4})$

단계 1.2.2

식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.2.1

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$

단계 1.2.2.2

$- 5 \sin (x^{5}) x^{4}$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 5 x^{4} \sin (x^{5})$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{4} \sin (x^{5})$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \sin (x^{5})]$

단계 2.2

$f (x) = x^{4}$ , $g (x) = \sin (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x^{4} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.3.2

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\cos (u)$ 입니다.

$- 5 (x^{4} (\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.3.3

$u$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x^{4} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5

지수를 더하여 $x^{4}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

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단계 2.5.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 5 (x^{4} x^{4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 5 (x^{4 + 4} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.5.3

$4$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 5 (x^{8} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.6

$\cos (x^{5})$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 5 (x^{8} (5 \cdot \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

단계 2.7

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

단계 2.8

간단히 합니다.

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단계 2.8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 (x^{8} (5 \cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

단계 2.8.2

항을 묶습니다.

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단계 2.8.2.1

$5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 25 (x^{8} (\cos (x^{5}))) - 5 (\sin (x^{5}) (4 x^{3}))$

단계 2.8.2.2

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 \sin (x^{5}) x^{3}$

단계 2.8.3

항을 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = - 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 25 x^{8} \cos (x^{5}) - 20 x^{3} \sin (x^{5})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 25 x^{8} \cos (x^{5})]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.2.1

$- 25$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 25 x^{8} \cos (x^{5})$ 의 미분은 $- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})]$ 입니다.

$- 25 \frac{d}{d x} [x^{8} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.2

$f (x) = x^{8}$ , $g (x) = \cos (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{8} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 25 (x^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.3.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- 25 (x^{8} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.5

$n = 8$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{8} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 25 (x^{8} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.7

지수를 더하여 $x^{8}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.7.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 25 (x^{4} x^{8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 25 (x^{4 + 8} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.2.7.3

$4$ 를 $8$ 에 더합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3} \sin (x^{5})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x^{3} \sin (x^{5})$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$ 입니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x^{5})]$

단계 3.3.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = \sin (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3.2

$\sin (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{2})$ 입니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

단계 3.3.5

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{3} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.3.6

지수를 더하여 $x^{3}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4} x^{3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.3.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{4 + 3} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.3.6.3

$4$ 를 $3$ 에 더합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.3.7

$\cos (x^{5})$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 25 (x^{12} (- 5 \sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4.3

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.1

$- 5$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$125 (x^{12} (\sin (x^{5}))) - 25 (\cos (x^{5}) (8 x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.2

$8$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 (\cos (x^{5}) (x^{7})) - 20 (x^{7} (5 \cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.3

$5$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 (x^{7} (\cos (x^{5}))) - 20 (\sin (x^{5}) (3 x^{2}))$

단계 3.4.3.4

$3$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 \cos (x^{5}) x^{7} - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 (\sin (x^{5}) (x^{2}))$

단계 3.4.3.5

$- 200 \cos (x^{5}) x^{7}$ 에서 $100 x^{7} \cos (x^{5})$ 을 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.3.5.1

$\cos (x^{5})$ 를 옮깁니다.

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 200 x^{7} \cos (x^{5}) - 100 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

단계 3.4.3.5.2

$- 200 x^{7} \cos (x^{5})$ 에서 $100 x^{7} \cos (x^{5})$ 을 뺍니다.

$125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 \sin (x^{5}) x^{2}$

단계 3.4.4

항을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = 125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $125 x^{12} \sin (x^{5}) - 300 x^{7} \cos (x^{5}) - 60 x^{2} \sin (x^{5})$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [125 x^{12} \sin (x^{5})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$125$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $125 x^{12} \sin (x^{5})$ 의 미분은 $125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})]$ 입니다.

$125 \frac{d}{d x} [x^{12} \sin (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.2

$f (x) = x^{12}$ , $g (x) = \sin (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{12} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{12} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.3.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$125 (x^{12} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{12}]) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.5

$n = 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{12} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.6

지수를 더하여 $x^{12}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$125 (x^{4} x^{12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$125 (x^{4 + 12} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.6.3

$4$ 를 $12$ 에 더합니다.

$125 (x^{16} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.2.7

$\cos (x^{5})$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) + \frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- 300 x^{7} \cos (x^{5})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 300$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 300 x^{7} \cos (x^{5})$ 의 미분은 $- 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})]$ 입니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 \frac{d}{d x} [x^{7} \cos (x^{5})] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.2

$f (x) = x^{7}$ , $g (x) = \cos (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} \frac{d}{d x} [\cos (x^{5})] + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.3

$f (x) = \cos (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.3.2

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{2})$ 입니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.3.3

$u_{2}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{7}]) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.5

$n = 7$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- \sin (x^{5}) (5 x^{4})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.6

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{7} (- 5 \sin (x^{5}) x^{4}) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.7

지수를 더하여 $x^{7}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.7.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4} x^{7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.7.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{4 + 7} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.3.7.3

$4$ 를 $7$ 에 더합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{2} \sin (x^{5})]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$- 60$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 60 x^{2} \sin (x^{5})$ 의 미분은 $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$ 입니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x^{5})]$

단계 4.4.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sin (x^{5})$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x^{5})] + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.3

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = x^{5}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{3}$ 를 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.3.2

$\sin (u_{3})$ 를 $u_{3}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{3})$ 입니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.3.3

$u_{3}$ 를 모두 $x^{5}$ 로 바꿉니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.4

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 4.4.5

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{2} (\cos (x^{5}) (5 x^{4})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.4.6

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.6.1

$x^{4}$ 를 옮깁니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4} x^{2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.4.6.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{4 + 2} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.4.6.3

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (\cos (x^{5}) \cdot (5)) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.4.7

$\cos (x^{5})$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5})) + \cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5})) + \sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$125 (x^{16} (5 \cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

$5$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$625 (x^{16} (\cos (x^{5}))) + 125 (\sin (x^{5}) (12 x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.2

$12$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 (\sin (x^{5}) (x^{11})) - 300 (x^{11} (- 5 \sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.3

$- 5$ 에 $- 300$ 을 곱합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 (x^{11} (\sin (x^{5}))) - 300 (\cos (x^{5}) (7 x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.4

$7$ 에 $- 300$ 을 곱합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 \sin (x^{5}) x^{11} + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 (\cos (x^{5}) (x^{6})) - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.5

$1500 \sin (x^{5}) x^{11}$ 를 $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.5.1

$\sin (x^{5})$ 를 옮깁니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) + 1500 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.5.2

$1500 x^{11} \sin (x^{5})$ 를 $1500 x^{11} \sin (x^{5})$ 에 더합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 60 (x^{6} (5 \cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.6

$5$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 (x^{6} (\cos (x^{5}))) - 60 (\sin (x^{5}) (2 x))$

단계 4.5.4.7

$2$ 에 $- 60$ 을 곱합니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 \cos (x^{5}) x^{6} - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 (\sin (x^{5}) (x))$

단계 4.5.4.8

$- 2100 \cos (x^{5}) x^{6}$ 에서 $300 x^{6} \cos (x^{5})$ 을 뺍니다.

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단계 4.5.4.8.1

$\cos (x^{5})$ 를 옮깁니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2100 x^{6} \cos (x^{5}) - 300 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

단계 4.5.4.8.2

$- 2100 x^{6} \cos (x^{5})$ 에서 $300 x^{6} \cos (x^{5})$ 을 뺍니다.

$625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 \sin (x^{5}) x$

단계 4.5.5

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = 625 x^{16} \cos (x^{5}) + 3000 x^{11} \sin (x^{5}) - 2400 x^{6} \cos (x^{5}) - 120 x \sin (x^{5})$