미적분 예제

$7 t + \frac{1}{t}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

합의 법칙에 의해 $7 t + \frac{1}{t}$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [7 t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 1.2

$\frac{d}{d t} [7 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $7 t$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$7 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 1.2.3

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$7 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

단계 1.3

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$\frac{1}{t}$ 을 $t^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$7 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

단계 1.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$7 - t^{- 2}$

단계 1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$7 - \frac{1}{t^{2}}$

단계 1.5

항을 다시 정렬합니다.

$f' (t) = - \frac{1}{t^{2}} + 7$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- \frac{1}{t^{2}} + 7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [7]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2

$\frac{d}{d t} [- \frac{1}{t^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$f (t) = - 1$ , $g (t) = \frac{1}{t^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 는 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2}}] + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.2

$\frac{1}{t^{2}}$ 을 ${(t^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{d}{d t} [{(t^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.3

$f (t) = t^{- 1}$ , $g (t) = t^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.3.3

$u$ 를 모두 $t^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (- {(t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \frac{d}{d t} [- 1] + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.5

$- 1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- (- {(t^{2})}^{- 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.6

${(t^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- (- t^{2 \cdot - 2} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- (- t^{- 4} (2 t)) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (- 2 t^{- 4} t) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.8

$t$ 를 $1$ 승 합니다.

$- (- 2 (t^{1} t^{- 4})) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- (- 2 t^{1 - 4}) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$- (- 2 t^{- 3}) + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 t^{- 3} + \frac{1}{t^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.12

$\frac{1}{t^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 t^{- 3} + 0 + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.2.13

$2 t^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 t^{- 3} + \frac{d}{d t} [7]$

단계 2.3

$7$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $7$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $7$ 입니다.

$2 t^{- 3} + 0$

단계 2.4

간단히 합니다.

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단계 2.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$2 \frac{1}{t^{3}} + 0$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{t^{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{t^{3}} + 0$

단계 2.4.2.2

$\frac{2}{t^{3}}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (t) = \frac{2}{t^{3}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{2}{t^{3}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{3}}]$

단계 3.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$\frac{1}{t^{3}}$ 을 ${(t^{3})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d t} [{(t^{3})}^{- 1}]$

단계 3.2.2

${(t^{3})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d t} [t^{3 \cdot - 1}]$

단계 3.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{d}{d t} [t^{- 3}]$

단계 3.3

$n = - 3$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- 3 t^{- 4})$

단계 3.4

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 6 t^{- 4}$

단계 3.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 6 \frac{1}{t^{4}}$

단계 3.5.2

항을 묶습니다.

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단계 3.5.2.1

$- 6$ 와 $\frac{1}{t^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 6}{t^{4}}$

단계 3.5.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f''' (t) = - \frac{6}{t^{4}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \frac{6}{t^{4}}$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$ 입니다.

$- 6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{4}}]$

단계 4.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$\frac{1}{t^{4}}$ 을 ${(t^{4})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 6 \frac{d}{d t} [{(t^{4})}^{- 1}]$

단계 4.2.2

${(t^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 6 \frac{d}{d t} [t^{4 \cdot - 1}]$

단계 4.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 6 \frac{d}{d t} [t^{- 4}]$

단계 4.3

$n = - 4$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 (- 4 t^{- 5})$

단계 4.4

$- 4$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$24 t^{- 5}$

단계 4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$24 \frac{1}{t^{5}}$

단계 4.5.2

$24$ 와 $\frac{1}{t^{5}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (t) = \frac{24}{t^{5}}$