미적분 예제

$f (x) = x \sqrt{x^{2} - 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 을(를) ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.3.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.5

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.7.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.7.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.8

분수를 통분합니다.

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단계 1.8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.8.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.8.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.9

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.10

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.11

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.12

분수를 통분합니다.

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단계 1.12.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.12.2

$2$ 와 $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.12.3

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.13

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.14

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.15

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.16

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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단계 1.16.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.16.2

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.16.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

단계 1.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

단계 1.18

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$

단계 1.19

공통 분모를 가지는 분수로 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21

지수를 더하여 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 1.21.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.3

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.21.4

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.22

${(x^{2} - 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f' (x) = \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.23

$x^{2}$ 를 $x^{2}$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$f (x) = 2 x^{2} - 1$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 1) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 2.2

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 1) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 1) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 2.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 1) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.3

간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 1) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4

미분합니다.

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단계 2.4.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x + 0) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.4.6.1

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (4 x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.4.6.2

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$f'' (x) = \frac{4 \cdot ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x) - (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.5.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.5.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.7

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.9

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.9.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.9.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.10

분수를 통분합니다.

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단계 2.10.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.10.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.10.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{x^{2} - 1}$

단계 2.11

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{x^{2} - 1}$

단계 2.12

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{x^{2} - 1}$

단계 2.13

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0))}{x^{2} - 1}$

단계 2.14

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.14.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x))}{x^{2} - 1}$

단계 2.14.2

$2$ 와 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) (\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{x^{2} - 1}$

단계 2.14.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.14.4

공약수로 약분합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.14.5

수식을 다시 씁니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x - (2 x^{2} - 1) \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- (2 x^{2}) + 1) (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.1.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 1) (\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.2

$- 2 x^{2} + 1$ 에 $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5

인수분해된 형태로 $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.5.1

$4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 x^{2} + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.5.1.1

$4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.1.2

$(- 2 x^{2} + 1) x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.1.3

$x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) + x (- 2 x^{2} + 1)$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.2

지수를 더하여 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.2.5.2.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.2.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.3

$4 {(x^{2} - 1)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 (x^{2} - 1) - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} + 4 \cdot - 1 - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.5

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (4 x^{2} - 4 - 2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.6

$4 x^{2}$ 에서 $2 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 4 + 1)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.2.5.7

$- 4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.3

항을 묶습니다.

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단계 2.15.3.1

$\frac{\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} - 1}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} - 1}$

단계 2.15.3.2

$\frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$

단계 2.15.3.3

지수를 더하여 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.15.3.3.1

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $x^{2} - 1$ 을 곱합니다.

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단계 2.15.3.3.1.1

$x^{2} - 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 1)}$

단계 2.15.3.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

단계 2.15.3.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

단계 2.15.3.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

단계 2.15.3.3.4

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = \frac{x (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = x (2 x^{2} - 3)$ , $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 는 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ 이라는 몫의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 3)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{({(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}}$

단계 3.2

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 3)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.2.1

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 3)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}}$

단계 3.2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (2 x^{2} - 3)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.3

$f (x) = x$ , $g (x) = 2 x^{2} - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4

미분합니다.

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단계 3.4.1

합의 법칙에 의해 $2 x^{2} - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{2}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4.4

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + \frac{d}{d x} (- 3)) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4.5

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x + 0) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.4.6

$4 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (x (4 x) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x \cdot x) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 (x \cdot x) + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{1 + 1} + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.8

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + (2 x^{2} - 3) \cdot 1) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.8.3

항을 더해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$2 x^{2} - 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (4 x^{2} + 2 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.8.3.2

$4 x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.9

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.9.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.9.2

$n = \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.9.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.11

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.13

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.13.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.13.2

$3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.14

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.14.1

$\frac{3}{2}$ 와 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - x (2 x^{2} - 3) (\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.14.2

$\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.15

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.16

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.17

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.18

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.18.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.18.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - 2 \frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.18.3

$- 2$ 와 $\frac{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{- 2 (3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.18.4

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{- 6 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((2 x^{2} - 3) x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.18.5

$x$ 와 $\frac{- 6 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x (- 6 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.19

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x \cdot x (- 6 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.20

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x \cdot x (- 6 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x^{1 + 1} (- 6 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.22

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x^{2} (- 6 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.23

$x^{2} (- 6 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.24

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.24.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.24.2

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{2 (x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.24.3

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + \frac{x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.24.4

$x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.25

${(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) + x^{2} (- 3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}) (2 x^{2} - 3)$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.25.1

$x^{2}$ 와 $- 3$ 을 다시 정렬합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3) - 3 \cdot (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 3))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.25.2

${(x^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}} (6 x^{2} - 3)$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 3)) - 3 \cdot (x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 3))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.25.3

$- 3 \cdot x^{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x^{2} - 3)$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 3)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 3)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.25.4

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 3)) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (- 3 \cdot x^{2} (2 x^{2} - 3))$ 에서 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 3) - 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 3)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.26

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.26.1

공약수로 약분합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} (6 x^{2} - 3) - 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 3)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.26.2

수식을 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 3)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.27

간단히 합니다.

$f''' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ((x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 \cdot (x^{2} (2 x^{2} - 3)))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

단계 3.28

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

단계 3.29

지수를 더하여 ${(x^{2} - 1)}^{3}$ 에 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.29.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3 - \frac{1}{2}}}$

단계 3.29.2

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}$

단계 3.29.3

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}$

단계 3.29.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}$

단계 3.29.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.29.5.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{6 - 1}{2}}}$

단계 3.29.5.2

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(x^{2} - 1) (6 x^{2} - 3)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (6 x^{2} - 3) - 1 (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2} - 3) - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f''' (x) = \frac{x^{2} (6 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.2.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.2.1.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f''' (x) = \frac{6 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.3

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 3 \cdot x^{2} - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.4

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 3 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.1.5

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 3 x^{2} - 6 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.2.2

$- 3 x^{2}$ 에서 $6 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 3 x^{2} (2 x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot (2 x^{2} x^{2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.4

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.30.2.1.4.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot (2 x^{2 + 2}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 3 \cdot (2 x^{4}) - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.5

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} - 3 x^{2} \cdot - 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.1.6

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} + 9 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.2

$6 x^{4} - 9 x^{2} + 3 - 6 x^{4} + 9 x^{2}$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 3.30.2.2.1

$6 x^{4}$ 에서 $6 x^{4}$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = \frac{- 9 x^{2} + 3 + 0 + 9 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.2.2

$- 9 x^{2} + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{- 9 x^{2} + 3 + 9 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.2.3

$- 9 x^{2}$ 를 $9 x^{2}$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{0 + 3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.30.2.2.4

$0$ 를 $3$ 에 더합니다.

$f''' (x) = \frac{3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{3}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}})$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 을 ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

단계 4.1.2.2

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

단계 4.1.2.2.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{- 5}{2}})$

단계 4.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{- \frac{5}{2}})$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ , $g (x) = x^{2} - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.2.2

$n = - \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.6.2

$- 5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7

분수를 통분합니다.

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단계 4.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7.2

${(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.3.1

${(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5 \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7.3.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f^{4} (x) = 3 (- \frac{5}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 3 (\frac{5}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))$

단계 4.7.4

$\frac{5}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 와 $- 3$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{5 \cdot - 3}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.7.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.7.5.1

$5$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.7.5.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

단계 4.8

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 4.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

단계 4.10

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

단계 4.11

항을 간단히 합니다.

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단계 4.11.1

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (2 x)$

단계 4.11.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = - 2 \frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

단계 4.11.3

$- 2$ 와 $\frac{15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 2 \cdot 15}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

단계 4.11.4

$- 2$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 30}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

단계 4.11.5

$\frac{- 30}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 30 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.11.6

$- 30 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.12

공약수로 약분합니다.

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단계 4.12.1

$2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 15 x)}{2 ({(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}})}$

단계 4.12.2

공약수로 약분합니다.

$f^{4} (x) = \frac{2 (- 15 x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.12.3

수식을 다시 씁니다.

$f^{4} (x) = \frac{- 15 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{15 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 5

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 4차 도함수는 $- \frac{15 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 입니다.

$- \frac{15 x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{7}{2}}}$