미적분 예제

$y = 3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 {(x^{2} + 3 x)}^{3}$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{3})$

단계 1.2

$f (x) = x^{3}$ , $g (x) = x^{2} + 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

단계 1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = 3 (3 {(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

단계 1.3

미분합니다.

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단계 1.3.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

단계 1.3.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 1.3.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (3 x))$

단계 1.3.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x))$

단계 1.3.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3 \cdot 1)$

단계 1.3.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

$9$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $9 {(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)$ 의 미분은 $9 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3)]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 x + 3))$

단계 2.2

$f (x) = {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ , $g (x) = 2 x + 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 3) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3

미분합니다.

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단계 2.3.1

합의 법칙에 의해 $2 x + 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (3)) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.5

$3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $3$ 입니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} (2 + 0) + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 9 ({(x^{2} + 3 x)}^{2} \cdot 2 + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.3.6.2

${(x^{2} + 3 x)}^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 9 (2 \cdot {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 3 x)}^{2}))$

단계 2.4

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = x^{2} + 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.4.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

단계 2.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

단계 2.4.3

$u$ 를 모두 $x^{2} + 3 x$ 로 바꿉니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + (2 x + 3) (2 (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x)))$

단계 2.5

미분합니다.

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단계 2.5.1

$2 x + 3$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 \cdot ((2 x + 3) (x^{2} + 3 x)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.5.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x)))$

단계 2.5.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} (3 x)))$

단계 2.5.4

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} (x)))$

단계 2.5.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1))$

단계 2.5.6

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 (2 x + 3) (x^{2} + 3 x) (2 x + 3))$

단계 2.6

$2 x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

단계 2.7

$2 x + 3$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 ((2 x + 3) (2 x + 3)) (x^{2} + 3 x))$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.10

간단히 합니다.

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단계 2.10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = 9 (2 {(x^{2} + 3 x)}^{2}) + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.10.2

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 9 (2 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.10.3

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 ({(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x))$

단계 2.10.4

$18 {(x^{2} + 3 x)}^{2} + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ 에서 $18 (x^{2} + 3 x)$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.10.4.1

$18 {(x^{2} + 3 x)}^{2}$ 에서 $18 (x^{2} + 3 x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$

단계 2.10.4.2

$18 {(2 x + 3)}^{2} (x^{2} + 3 x)$ 에서 $18 (x^{2} + 3 x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$

단계 2.10.4.3

$18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x) + 18 (x^{2} + 3 x) ({(2 x + 3)}^{2})$ 에서 $18 (x^{2} + 3 x)$ 를 인수분해합니다.

$f'' (x) = 18 (x^{2} + 3 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

단계 2.10.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 18 (3 x)) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

단계 2.10.6

$3$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + {(2 x + 3)}^{2})$

단계 2.10.7

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.7.1

${(2 x + 3)}^{2}$ 을 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 로 바꿔 씁니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + (2 x + 3) (2 x + 3))$

단계 2.10.7.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(2 x + 3) (2 x + 3)$ 를 전개합니다.

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단계 2.10.7.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x + 3) + 3 (2 x + 3))$

단계 2.10.7.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x + 3))$

단계 2.10.7.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.10.7.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.7.3.1.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.2

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.7.3.1.2.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.2.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 2 x \cdot 3 + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 3 (2 x) + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.5

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 3 \cdot 3)$

단계 2.10.7.3.1.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9)$

단계 2.10.7.3.2

$6 x$ 를 $6 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (x^{2} + 3 x + 4 x^{2} + 12 x + 9)$

단계 2.10.8

$x^{2}$ 를 $4 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 3 x + 12 x + 9)$

단계 2.10.9

$3 x$ 를 $12 x$ 에 더합니다.

$f'' (x) = (18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$

단계 2.10.10

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(18 x^{2} + 54 x) (5 x^{2} + 15 x + 9)$ 를 전개합니다.

$f'' (x) = 18 x^{2} (5 x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.10.11.1

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2} x^{2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.2

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.11.2.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 (x^{2} x^{2})) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{2 + 2}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.2.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 18 \cdot (5 x^{4}) + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.3

$18$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 x^{2} (15 x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{2} x) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.5

지수를 더하여 $x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.11.5.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.5.2

$x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.11.5.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 (x \cdot x^{2})) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.5.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{1 + 2}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.5.3

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 18 \cdot (15 x^{3}) + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.6

$18$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 18 x^{2} \cdot 9 + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.7

$9$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 x (5 x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.8

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x \cdot x^{2}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.9

지수를 더하여 $x$ 에 $x^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 2.10.11.9.1

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.9.2

$x^{2}$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.11.9.2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 (x^{2} x)) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.9.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{2 + 1}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.9.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 54 \cdot (5 x^{3}) + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.10

$54$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 x (15 x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.11

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x \cdot x) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.12

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.10.11.12.1

$x$ 를 옮깁니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 (x \cdot x)) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.12.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 54 \cdot (15 x^{2}) + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.13

$54$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 54 x \cdot 9$

단계 2.10.11.14

$9$ 에 $54$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 270 x^{3} + 162 x^{2} + 270 x^{3} + 810 x^{2} + 486 x$

단계 2.10.12

$270 x^{3}$ 를 $270 x^{3}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 162 x^{2} + 810 x^{2} + 486 x$

단계 2.10.13

$162 x^{2}$ 를 $810 x^{2}$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

합의 법칙에 의해 $90 x^{4} + 540 x^{3} + 972 x^{2} + 486 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [90 x^{4}] + \frac{d}{d x} [540 x^{3}] + \frac{d}{d x} [972 x^{2}] + \frac{d}{d x} [486 x]$ 가 됩니다.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [90 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$90$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $90 x^{4}$ 의 미분은 $90 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f''' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 90 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.2.3

$4$ 에 $90$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + \frac{d}{d x} (540 x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [540 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$540$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $540 x^{3}$ 의 미분은 $540 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 540 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.3.3

$3$ 에 $540$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + \frac{d}{d x} (972 x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.4

$\frac{d}{d x} [972 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$972$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $972 x^{2}$ 의 미분은 $972 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.4.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 972 (2 x) + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.4.3

$2$ 에 $972$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + \frac{d}{d x} (486 x)$

단계 3.5

$\frac{d}{d x} [486 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$486$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $486 x$ 의 미분은 $486 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \frac{d}{d x} (x)$

단계 3.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486 \cdot 1$

단계 3.5.3

$486$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = 360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $360 x^{3} + 1620 x^{2} + 1944 x + 486$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [360 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1620 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1944 x] + \frac{d}{d x} [486]$ 가 됩니다.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (360 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [360 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$360$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $360 x^{3}$ 의 미분은 $360 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 360 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 360 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.2.3

$3$ 에 $360$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + \frac{d}{d x} (1620 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [1620 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$1620$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $1620 x^{2}$ 의 미분은 $1620 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 1620 (2 x) + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.3.3

$2$ 에 $1620$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + \frac{d}{d x} (1944 x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.4

$\frac{d}{d x} [1944 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

$1944$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $1944 x$ 의 미분은 $1944 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.4.3

$1944$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + \frac{d}{d x} (486)$

단계 4.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$486$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $486$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $486$ 입니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944 + 0$

단계 4.5.2

$1080 x^{2} + 3240 x + 1944$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{4} (x) = 1080 x^{2} + 3240 x + 1944$