미적분 예제

$y = \ln (\sin (x))$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$f (x) = \ln (x)$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (u)$ 를 $u$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{u}$ 입니다.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.1.3

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ 을 $\csc (x)$ 로 변환합니다.

$\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\csc (x) \cos (x)$

단계 1.4

간단히 합니다.

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단계 1.4.1

$\csc (x) \cos (x)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\cos (x) \csc (x)$

단계 1.4.2

$\csc (x)$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

단계 1.4.3

$\cos (x)$ 와 $\frac{1}{\sin (x)}$ 을 묶습니다.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

단계 1.4.4

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 을 $\cot (x)$ 로 변환합니다.

$f' (x) = \cot (x)$

단계 2

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$f'' (x) = - \csc^{2} (x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \csc^{2} (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

단계 3.2

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 3.4

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

단계 3.5

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

단계 3.6

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

단계 3.7

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

단계 3.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

단계 3.9

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f''' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

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단계 4.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

단계 4.2

$f (x) = \csc^{2} (x)$ , $g (x) = \cot (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.3

$\cot (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc^{2} (x)$ 입니다.

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.4

지수를 더하여 $\csc^{2} (x)$ 에 $\csc^{2} (x)$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.1

$\csc^{2} (x)$ 를 옮깁니다.

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.4.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.5

식을 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$\csc^{4} (x)$ 의 왼쪽으로 $- 1$ 이동하기

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.5.2

$- 1 \csc^{4} (x)$ 을 $- \csc^{4} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

단계 4.6

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \csc (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

단계 4.6.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

단계 4.6.3

$u$ 를 모두 $\csc (x)$ 로 바꿉니다.

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

단계 4.7

$\cot (x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

단계 4.8

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \csc (x) \cot (x)$ 입니다.

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

단계 4.9

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

단계 4.10

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

단계 4.11

$\cot (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

단계 4.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

단계 4.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

단계 4.14

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

단계 4.15

$\csc (x)$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

단계 4.16

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

단계 4.17

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

단계 4.18

간단히 합니다.

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단계 4.18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

단계 4.18.2

항을 묶습니다.

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단계 4.18.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

단계 4.18.2.2

$- 2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

단계 4.18.3

항을 다시 정렬합니다.

$f^{4} (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$