미적분 예제

$y = 5 x \sin (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x \sin (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

단계 1.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$5 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.4

멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.4.1

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

단계 1.4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x \cos (x) + \sin (x))$

단계 1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = 5 x \cos (x) + 5 \sin (x)$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $5 x \cos (x) + 5 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.2.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x \cos (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$5 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.2.5

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 \sin (x)$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 5 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 2.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 5 \cos (x)$

단계 2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$5 (x (- \sin (x))) + 5 \cos (x) + 5 \cos (x)$

단계 2.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.4.2.1

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (\sin (x))) + 5 \cos (x) + 5 \cos (x)$

단계 2.4.2.2

$5 \cos (x)$ 를 $5 \cos (x)$ 에 더합니다.

$f'' (x) = - 5 x \sin (x) + 10 \cos (x)$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

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단계 3.1

합의 법칙에 의해 $- 5 x \sin (x) + 10 \cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x \sin (x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \sin (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.2.3

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.2.5

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$

단계 3.3

$\frac{d}{d x} [10 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$10$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $10 \cos (x)$ 의 미분은 $10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x)) + 10 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 3.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x)) + 10 (- \sin (x))$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 5 (x \cos (x) + \sin (x)) - 10 \sin (x)$

단계 3.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 (x \cos (x)) - 5 \sin (x) - 10 \sin (x)$

단계 3.4.2

$- 5 \sin (x)$ 에서 $10 \sin (x)$ 을 뺍니다.

$f''' (x) = - 5 x \cos (x) - 15 \sin (x)$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

합의 법칙에 의해 $- 5 x \cos (x) - 15 \sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 5 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x \cos (x)$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 입니다.

$- 5 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.2.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 5 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.2.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 5 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.2.5

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$

단계 4.3

$\frac{d}{d x} [- 15 \sin (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 15 \sin (x)$ 의 미분은 $- 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 입니다.

$- 5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.3.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$- 5 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 15 \cos (x)$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 5 (x (- \sin (x))) - 5 \cos (x) - 15 \cos (x)$

단계 4.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$5 (x (\sin (x))) - 5 \cos (x) - 15 \cos (x)$

단계 4.4.2.2

$- 5 \cos (x)$ 에서 $15 \cos (x)$ 을 뺍니다.

$f^{4} (x) = 5 x \sin (x) - 20 \cos (x)$