미적분 예제

$y = \sqrt{4 x - 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{4 x - 1}$ 을(를) ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

단계 1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 1.8

합의 법칙에 의해 $4 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.9

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.10

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.11

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 1.12

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

단계 1.13

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.13.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

단계 1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.13.3

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.14

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.14.1

$2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

단계 1.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.14.3

수식을 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

단계 2.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 ${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

단계 2.1.2.2

${({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

단계 2.1.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}}]$

단계 2.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}]$

단계 2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ , $g (x) = 4 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.6.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 (- \frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$2 (- \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.9.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 2.10

$\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.11

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.12

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.12.1

$2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.12.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.12.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.13

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 2.14

합의 법칙에 의해 $4 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.15

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.17

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 2.18

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} (4 + 0)$

단계 2.19

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.19.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 4$

단계 2.19.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.19.3

$- 4$ 와 $\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 2.19.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

단계 3

3차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \frac{4}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}]$

단계 3.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

$\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 을 ${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

단계 3.1.2.2

${({(4 x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

단계 3.1.2.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

단계 3.1.2.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 3}{2}}]$

단계 3.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2}}]$

단계 3.2

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ , $g (x) = 4 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.2.2

$n = - \frac{3}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.6.2

$- 3$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- 4 (- \frac{3}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{2}$ 을 묶습니다.

$- 4 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.9

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.1

${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- 4 (- \frac{3 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 4 (- \frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.9.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$4 (\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 3.10

$\frac{3}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{3 \cdot 4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.11

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.12

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.13

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.13.1

$2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 6}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 6}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 3.14

합의 법칙에 의해 $4 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.15

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.16

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.17

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 3.18

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} (4 + 0)$

단계 3.19

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.19.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}} \cdot 4$

단계 3.19.2

$\frac{6}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{6 \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 3.19.3

$6$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f''' (x) = \frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$

단계 4

4차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

상수배의 미분법을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$24$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{24}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 의 미분은 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$ 입니다.

$24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}]$

단계 4.1.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1.2.1

$\frac{1}{{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}}}$ 을 ${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$24 \frac{d}{d x} [{({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

단계 4.1.2.2

${({(4 x - 1)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.1.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

단계 4.1.2.2.2

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.1.2.2.2.1

$\frac{5}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

단계 4.1.2.2.2.2

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{- 5}{2}}]$

단계 4.1.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$24 \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2}}]$

단계 4.2

$f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ , $g (x) = 4 x - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$24 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.2.2

$n = - \frac{5}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$24 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.2.3

$u$ 를 모두 $4 x - 1$ 로 바꿉니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.6.2

$- 5$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$24 (- \frac{5}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.8

${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 와 $\frac{5}{2}$ 을 묶습니다.

$24 (- \frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.9

식을 간단히 합니다.

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단계 4.9.1

${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$24 (- \frac{5 \cdot {(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.9.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(4 x - 1)}^{- \frac{7}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$24 (- \frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.9.3

$- 1$ 에 $24$ 을 곱합니다.

$- 24 (\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1])$

단계 4.10

$\frac{5}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 와 $- 24$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot - 24}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.11

$5$ 에 $- 24$ 을 곱합니다.

$\frac{- 120}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.12

$- 120$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.13

공약수로 약분합니다.

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단계 4.13.1

$2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}})} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.13.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 60}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.13.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

단계 4.15

합의 법칙에 의해 $4 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.16

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.17

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.18

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

단계 4.19

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} (4 + 0)$

단계 4.20

분수를 통분합니다.

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단계 4.20.1

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}} \cdot 4$

단계 4.20.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.20.3

$- 4$ 와 $\frac{60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 \cdot 60}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.20.4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.20.4.1

$- 4$ 에 $60$ 을 곱합니다.

$\frac{- 240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$

단계 4.20.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f^{4} (x) = - \frac{240}{{(4 x - 1)}^{\frac{7}{2}}}$