미적분 예제

$\int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1

$\sin^{2} (t) \cos (t)$ 에서 $\cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\cos (t) \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

단계 3

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 을 $\csc^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})} \csc^{2} (t) d t$

단계 4

$- \cot (t)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (t)$ 이므로, $\csc^{2} (t)$ 의 적분값은 $- \cot (t)$ 이 됩니다.

$- \cot (t)]_{\frac{π}{6}}^{\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ , $\frac{π}{6}$ 일 때, $- \cot (t)$ 값을 계산합니다.

$(- \cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))) + \cot (\frac{π}{6})$

단계 5.2

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}, \frac{\sqrt{6}}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{6}}{2}))$ 는 $\frac{i \sqrt{3}}{3}$ 입니다.

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \cot (\frac{π}{6})$

단계 6

$\cot (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{3}$ 입니다.

$- \frac{i \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}$

단계 7