미적분 예제

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos (x)} d x$

단계 1

배각 공식을 사용하여 $\cos (x)$ 를 $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$\int \frac{1}{3 + 2 (\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

단계 2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 (- \sin^{2} (\frac{x}{2}))} d x$

단계 3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{3 + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 4

피타고라스의 정리를 사용하여 $3$ 을(를) $3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ (으)로 변환합니다.

$\int \frac{1}{3 \sin^{2} (\frac{x}{2}) + 3 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + 2 \cos^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$3 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 에서 $2 {\sin (\frac{x}{2})}^{2}$ 을 뺍니다.

$\int \frac{1}{3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + 2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2} + {\sin (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

단계 5.2

$3 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 를 $2 {\cos (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 더합니다.

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 6

인수에 $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$ 을(를) 곱합니다.

$\int \frac{1}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 7

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

조합합니다.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 7.2

${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 7.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2}) + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\sec (\frac{x}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.2

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 \cos^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.4

$\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.4.1

$5 \cos^{2} (\frac{x}{2})$ 에서 $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.4.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 5 \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.4.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 8.5

$\sec (\frac{x}{2})$ 를 사인과 코사인을 사용하여 다시 표현합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

단계 8.6

$\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \sin^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 8.8

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$ 와 $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

단계 9

$\frac{\sin^{2} (\frac{x}{2})}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ 을 $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ 로 변환합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{5 + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

단계 10

먼저 $u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 10.1

$u_{1} = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 10.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 10.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 10.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 10.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} (1 \cdot 2) d u_{1}$

단계 11.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} \cdot 2 d u_{1}$

단계 11.3

$\frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

단계 11.4

$\sec^{2} (u_{1})$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

단계 12

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{5 + \tan^{2} (u_{1})} d u_{1}$

단계 13

먼저 $u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{2} = \tan (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\tan (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

단계 13.1.2

$\tan (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (u_{1})$ 입니다.

$\sec^{2} (u_{1})$

단계 13.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{5 + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 14

$5$ 을 ${\sqrt{5}}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

단계 15

$\frac{1}{{\sqrt{5}}^{2} + {u_{2}}^{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C$ 입니다.

$2 (\frac{1}{\sqrt{5}} \arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}}) + C)$

단계 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 와 $\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$

단계 16.2

$2 (\frac{\arctan (\frac{u_{2}}{\sqrt{5}})}{\sqrt{5}} + C)$ 을 $2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 16.3

$2$ 와 $\frac{\arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{u_{2} \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 17

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 17.1

$u_{2}$ 를 모두 $\tan (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (u_{1}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 17.2

$u_{1}$ 를 모두 $\frac{x}{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} + C$

단계 18

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.1

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} + C$

단계 18.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 18.2.1

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5})}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}} + C$

단계 18.2.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}} + C$

단계 18.2.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}} + C$

단계 18.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}} + C$

단계 18.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}} + C$

단계 18.2.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 18.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

단계 18.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

단계 18.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

단계 18.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}} + C$

단계 18.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5^{1}} + C$

단계 18.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{2 \arctan (\frac{\tan (\frac{x}{2}) \sqrt{5}}{5}) \sqrt{5}}{5} + C$

단계 18.3

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{2 \sqrt{5}}{5} \arctan (\frac{\sqrt{5}}{5} \tan (\frac{1}{2} x)) + C$