미적분 예제

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (t) \cdot 1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

단계 1.2

분수를 나눕니다.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

단계 1.3

$\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ 을 $\sec^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\int \frac{1}{1 \sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 1.4

$\sqrt[9]{8 + \tan (t)}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} \sec^{2} (t) d t$

단계 1.5

$\frac{1}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}}$ 와 $\sec^{2} (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\sqrt[9]{8 + \tan (t)}} d t$

단계 2

먼저 $u = 8 + \tan (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec^{2} (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec^{2} (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 8 + \tan (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$8 + \tan (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [8 + \tan (t)]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $8 + \tan (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [8] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

단계 2.1.2.2

$8$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$

단계 2.1.3

$\tan (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec^{2} (t)$ 입니다.

$0 + \sec^{2} (t)$

단계 2.1.4

$0$ 를 $\sec^{2} (t)$ 에 더합니다.

$\sec^{2} (t)$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt[9]{u}} d u$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[9]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{9}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{9}}} d u$

단계 3.2

$u^{\frac{1}{9}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1} d u$

단계 3.3

${(u^{\frac{1}{9}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int u^{\frac{1}{9} \cdot - 1} d u$

단계 3.3.2

$\frac{1}{9}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int u^{\frac{- 1}{9}} d u$

단계 3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int u^{- \frac{1}{9}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{9}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}}$ 가 됩니다.

$\frac{9}{8} u^{\frac{8}{9}} + C$

단계 5

$u$ 를 모두 $8 + \tan (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{8} {(8 + \tan (t))}^{\frac{8}{9}} + C$