미적분 예제

$\int \frac{x^{3} + \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

단계 1

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

단계 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 을(를) $x^{\frac{2}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{3} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$x^{3} + x^{\frac{1}{2}}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 2.1.1

$x^{3}$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

단계 2.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

단계 2.1.3

$x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{5}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ 에서 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{5}{2}} + 1)}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

단계 2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3

지수를 더하여 $x^{\frac{2}{3}}$ 에 $x^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.3.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

단계 2.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

단계 2.3.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 2.3.4.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

단계 2.3.4.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}}} d x$

단계 2.3.4.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}}} d x$

단계 2.3.4.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}}} d x$

단계 2.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{6}}} d x$

단계 2.3.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.3.6.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{4 - 3}{6}}} d x$

단계 2.3.6.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\int \frac{x^{\frac{5}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{6}}} d x$

단계 3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1

$x^{\frac{1}{6}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1} d x$

단계 3.2

${(x^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 3.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{1}{6} \cdot - 1} d x$

단계 3.2.2

$\frac{1}{6}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{6}} d x$

단계 3.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (x^{\frac{5}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{\frac{5}{2}} x^{- \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{5}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.4.1

$\frac{5}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{5 \cdot 3 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.6.1

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{15 - 1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.6.2

$15$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{14}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.7

$14$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.1

$14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{\frac{2 (7)}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int x^{\frac{7}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 4.8

$x^{- \frac{1}{6}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{7}{3}} + x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int x^{\frac{7}{3}} d x + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{7}{3}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \int x^{- \frac{1}{6}} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{6}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}}$ 가 됩니다.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + C + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$

단계 8

간단히 합니다.

$\frac{3}{10} x^{\frac{10}{3}} + \frac{6}{5} x^{\frac{5}{6}} + C$