미적분 예제

$\int \csc^{4} (\frac{x}{4}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{x}{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{4} d x$ 이므로 $4 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{x}{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{x}{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \csc^{4} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int \csc^{4} (u) (1 \cdot 4) d u$

단계 2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \csc^{4} (u) \cdot 4 d u$

단계 2.3

$\csc^{4} (u)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int 4 \csc^{4} (u) d u$

단계 3

$4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int \csc^{4} (u) d u$

단계 4

소거 공식을 적용합니다.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (u) d u)$

단계 5

$- \cot (u)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (u)$ 이므로, $\csc^{2} (u)$ 의 적분값은 $- \cot (u)$ 이 됩니다.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$

단계 6

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (u) + C))$ 을 $4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (- \frac{\cot (u) \csc^{2} (u)}{3} - \frac{2 \cot (u)}{3}) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\frac{x}{4}$ 로 바꿉니다.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

분배 법칙을 적용합니다.

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}) + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

단계 8.2

$4 (- \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 8.2.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- 4 \frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

단계 8.2.2

$- 4$ 와 $\frac{\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + 4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}) + C$

단계 8.3

$4 (- \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3})$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} - 4 \frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

단계 8.3.2

$- 4$ 와 $\frac{2 \cot (\frac{x}{4})}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 4 (2 \cot (\frac{x}{4}))}{3} + C$

단계 8.3.3

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{- 4 (\cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4}))}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

단계 8.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 8.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} + \frac{- 8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

단계 8.4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{4 \cot (\frac{x}{4}) \csc^{2} (\frac{x}{4})}{3} - \frac{8 \cot (\frac{x}{4})}{3} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{4}{3} \cot (\frac{1}{4} x) \csc^{2} (\frac{1}{4} x) - \frac{8}{3} \cot (\frac{1}{4} x) + C$