미적분 예제

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x + \cos (x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x$

단계 3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\sin (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ 와 $\sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)]_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}}$

단계 4.2

$\frac{π}{2}$ , $\frac{π}{3}$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2} + \sin (x)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + \sin (\frac{π}{2}) - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

단계 4.3

간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \sin (\frac{π}{3}))$

단계 4.3.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} {(\frac{π}{2})}^{2} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

$\frac{π}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.2

조합합니다.

$\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.3

$π^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{2 \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.4

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.4.1

$2$ 에 $2^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 4.4.4.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{1} \cdot 2^{2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.4.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{π^{2}}{2^{1 + 2}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.4.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} {(\frac{π}{3})}^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.5

$\frac{π}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.6

조합합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{1 π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.7

$π^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 3^{2}} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.8

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{2 \cdot 9} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.9

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - (\frac{π^{2}}{18} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

단계 4.4.10

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{π^{2}}{2^{3}} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.11

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{π^{2}}{8} + 1 - \frac{π^{2}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.12

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π^{2}}{8}$ 을 표현하기 위해 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.13

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π^{2}}{18}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2}}{8} \cdot \frac{9}{9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.14

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $72$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.4.14.1

$\frac{π^{2}}{8}$ 에 $\frac{9}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.14.2

$8$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2}}{18} \cdot \frac{4}{4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.14.3

$\frac{π^{2}}{18}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{18 \cdot 4} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.14.4

$18$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9}{72} - \frac{π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.16

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4}{72} + \frac{72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 4.4.18

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{36}{36}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{36}{36}$

단계 4.4.19

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $72$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 4.4.19.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $\frac{36}{36}$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{2 \cdot 36}$

단계 4.4.19.2

$2$ 에 $36$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72}{72} - \frac{\sqrt{3} \cdot 36}{72}$

단계 4.4.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - π^{2} \cdot 4 + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

단계 4.4.21

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - \sqrt{3} \cdot 36}{72}$

단계 4.4.22

$36$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{π^{2} \cdot 9 - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

단계 4.4.23

$π^{2} \cdot 9$ 에서 $4 π^{2}$ 을 뺍니다.

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단계 4.4.23.1

$π^{2}$ 와 $9$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{9 \cdot π^{2} - 4 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

단계 4.4.23.2

$9 \cdot π^{2}$ 에서 $4 π^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{5 \cdot π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{5 π^{2} + 72 - 36 \sqrt{3}}{72}$

소수 형태:

$0.81936379 \dots$