미적분 예제

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) - \sin (x) d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \cos (2 x) d x + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

단계 2

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 2.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 2.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 2.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

단계 2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.1

$- \frac{π}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 2.3.2

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

단계 2.3.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = - π$

단계 2.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{6}$

단계 2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (3)}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) \frac{1}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

단계 3

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{- π}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (u)}{2} d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{- π}^{\frac{π}{3}} \cos (u) d u + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

단계 5

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} - \sin (x) d x$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}} \sin (x) d x$

단계 7

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \cos (x)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{\frac{π}{3}} - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{π}{3}$ , $- π$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - (- \cos (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{6}})$

단계 8.2

$\frac{π}{6}$ , $- \frac{π}{2}$ 일 때, $- \cos (x)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- π)) - ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 8.3

괄호를 제거합니다.

$\frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \cos (\frac{π}{6}) + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 9.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- π)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (0)) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 0) - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.4

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.5

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 10.5.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.5.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (- \frac{π}{2}))$

단계 10.6

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.6.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{3 π}{2}))$

단계 10.6.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{2}))$

단계 10.6.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 0)$

단계 10.7

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} - - \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10.8

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 10.8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10.8.2

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

단계 10.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2}$

단계 10.10

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 10.10.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2 \cdot 2}$

단계 10.10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{4}$

단계 10.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2}{4}$

단계 10.12

$\sqrt{3} \cdot 2$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{4}$

단계 10.13

$\sqrt{3}$ 를 $2 \sqrt{3}$ 에 더합니다.

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

소수 형태:

$1.29903810 \dots$