미적분 예제

$\int \sqrt{t} (t^{4} + t - 4) d t$

단계 1

$u = t^{4} + t - 4$ 이고 $d v = \sqrt{t}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(t^{4} + t - 4) (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 $t^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} (4 t^{3} + 1) d t$

단계 2.2

$\frac{2}{3}$ 와 $t^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3} + 1) d t$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} (4 t^{3}) + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

단계 3.2

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $4$ 을 다시 정렬합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 1 d t$

단계 3.3

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 4 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \cdot \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.4

$4$ 와 $\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{4 (2 t^{\frac{3}{2}})}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.5

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} t^{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.6

$\frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 와 $t^{3}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2}} t^{3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.8

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.9

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 3 \cdot 2}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.11.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{3 + 6}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.11.2

$3$ 를 $6$ 에 더합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + 1 \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 3.12

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int \frac{8 t^{\frac{9}{2}}}{3} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

단계 5

$\frac{8}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{8}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \int t^{\frac{9}{2}} d t + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{9}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}}$ 가 됩니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2}{11} t^{\frac{11}{2}} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

단계 7

$\frac{2}{11}$ 와 $t^{\frac{11}{2}}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \int \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} d t)$

단계 8

$\frac{2}{3}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} \int t^{\frac{3}{2}} d t)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $t^{\frac{3}{2}}$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

$\frac{2}{5}$ 와 $t^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$(t^{4} + t - 4) \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} (\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + C) + \frac{2}{3} (\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 10.2

간단히 합니다.

$\frac{t^{\frac{11}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3

간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$t^{\frac{11}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \cdot t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3.3

$\frac{8}{3}$ 에 $\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{11}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{8 (2 t^{\frac{11}{2}})}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3.4

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{3 \cdot 11} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3.5

$3$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

단계 10.3.6

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{2 (2 t^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}) + C$

단계 10.3.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5}) + C$

단계 10.3.8

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) + C$

단계 10.3.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 10.3.10

$- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}}}{3} + \frac{- (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 10.3.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15}) \cdot 3}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 10.3.12

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16 t^{\frac{11}{2}}}{33} + \frac{4 t^{\frac{5}{2}}}{15})}{3} + \frac{2 t^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{8 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} (2 t^{\frac{11}{2}} - 3 (\frac{16}{33} t^{\frac{11}{2}} + \frac{4}{15} t^{\frac{5}{2}})) + \frac{2}{3} t^{\frac{5}{2}} - \frac{8}{3} t^{\frac{3}{2}} + C$