미적분 예제

$\int x^{- 6} \ln (x) d x$

단계 1

$u = \ln (x)$ 이고 $d v = x^{- 6}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (x) (- \frac{1}{5 x^{5}}) - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\ln (x)$ 와 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{5}} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 2.2

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{x (5 x^{5})} d x$

단계 2.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 (x^{1} x^{5})} d x$

단계 2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{1 + 5}} d x$

단계 2.5

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \int - \frac{1}{5 x^{6}} d x$

단계 3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - - \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + 1 \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

단계 4.2

$\int \frac{1}{5 x^{6}} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \int \frac{1}{5 x^{6}} d x$

단계 5

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x^{6}} d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 6.1

$x^{6}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int {(x^{6})}^{- 1} d x$

단계 6.2

${(x^{6})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{6 \cdot - 1} d x$

단계 6.2.2

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} \int x^{- 6} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 6}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ 가 됩니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$

단계 8

답을 간단히 합니다.

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단계 8.1

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C)$ 을 $- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{5}}) + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{x^{5} \cdot 5}) + C$

단계 8.2.2

$x^{5}$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} + \frac{1}{5} (- \frac{1}{5 \cdot x^{5}}) + C$

단계 8.2.3

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{5 x^{5}}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{5 (5 x^{5})} + C$

단계 8.2.4

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$- \frac{\ln (x)}{5 x^{5}} - \frac{1}{25 x^{5}} + C$