미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 3

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 에 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

단계 4.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

단계 5

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 (\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x)$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 7

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.2

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 7.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 7.4

$u_{1} = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 7.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

단계 7.5.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = π$

단계 7.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

단계 7.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

단계 9

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2 \cdot 4} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.4

$\cos (u_{1})$ 를 옮깁니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.5

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.6

$\cos (u_{1})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.8

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2.9

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2.10

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

단계 9.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

단계 9.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.13

$\cos (u_{1})$ 에서 $\cos (u_{1})$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 9.2.14

$0$ 에서 $\cos^{2} (u_{1})$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{8} \int_{0}^{π} 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{3}{8} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 12

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 13

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

단계 14

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 15

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (\int_{0}^{π} d u_{1} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 16

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 17

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 17.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 17.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 17.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 17.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 17.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 17.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 π$

단계 17.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 17.6

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

단계 18

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

단계 19

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 20

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{3}{8} (u_{1}]_{0}^{π} - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

단계 21

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

$π$ , $0$ 일 때, $u_{1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{8} ((π) + 0 - \frac{1}{2} (u_{1}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

단계 21.2

$π$ , $0$ 일 때, $u_{1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{2 π}))$

단계 21.3

$2 π$ , $0$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{3}{8} (π + 0 - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

단계 21.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.4.1

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0))))$

단계 21.4.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))))$

단계 22

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 22.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)))$

단계 22.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)))$

단계 22.3

$\sin (2 π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \sin (2 π)))$

단계 22.4

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 π)$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (2 π)}{2}))$

단계 23

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.1.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{\sin (0)}{2}))$

단계 23.1.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + \frac{0}{2}))$

단계 23.1.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} (π + 0))$

단계 23.2

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{1}{2} π)$

단계 23.3

$π$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{8} (π - \frac{π}{2})$

단계 23.4

공통 분모를 가지는 분수로 $π$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{8} (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

단계 23.5

$π$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3}{8} (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

단계 23.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

단계 23.7

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3}{8} \cdot \frac{2 \cdot π - π}{2}$

단계 23.8

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$

단계 23.9

$\frac{3}{8} \cdot \frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 23.9.1

$\frac{3}{8}$ 에 $\frac{π}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{8 \cdot 2}$

단계 23.9.2

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 π}{16}$

단계 24

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3 π}{16}$

소수 형태:

$0.58904862 \dots$