미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

단계 1

$2$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (2 t)}{6 - \cos (2 t)} d t$

단계 2

먼저 $u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 \sin (2 t) d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$6 - \cos (2 t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [6 - \cos (2 t)]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $6 - \cos (2 t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [6] + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

단계 2.1.2.2

$6$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $6$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $6$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d t} [- \cos (2 t)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- \cos (2 t)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$

단계 2.1.3.2

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = 2 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $2 t$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t])$

단계 2.1.3.2.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [2 t])$

단계 2.1.3.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$0 - (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} [2 t])$

단계 2.1.3.3

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0 - (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t]))$

단계 2.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

단계 2.1.3.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - (- \sin (2 t) \cdot 2)$

단계 2.1.3.6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - (- 2 \sin (2 t))$

단계 2.1.3.7

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 \sin (2 t)$

단계 2.1.4

$0$ 를 $2 \sin (2 t)$ 에 더합니다.

$2 \sin (2 t)$

단계 2.2

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 6 - \cos (2 \cdot 0)$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 6 - \cos (0)$

단계 2.3.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 6 - 1 \cdot 1$

단계 2.3.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 6 - 1$

단계 2.3.2

$6$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 5$

단계 2.4

$u_{2} = 6 - \cos (2 t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 6 - \cos (2 \frac{π}{2})$

단계 2.5.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 6 - \cos (π)$

단계 2.5.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = 6 - - \cos (0)$

단계 2.5.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 6 - (- 1 \cdot 1)$

단계 2.5.1.4

$- (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 6 - - 1$

단계 2.5.1.4.2

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 6 + 1$

단계 2.5.2

$6$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 7$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 7$

단계 2.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

단계 3.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$2 \int_{5}^{7} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 5.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 5.3

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{5}^{7} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (| u_{2} |)]_{5}^{7}$

단계 7

$7$ , $5$ 일 때, $\ln (| u_{2} |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| 7 |) - \ln (| 5 |)$

단계 8

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| 7 |}{| 5 |})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $7$ 사이의 거리는 $7$ 입니다.

$\ln (\frac{7}{| 5 |})$

단계 9.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $5$ 사이의 거리는 $5$ 입니다.

$\ln (\frac{7}{5})$

단계 10

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (\frac{7}{5})$

소수 형태:

$0.33647223 \dots$