미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{12}} \sin^{3} (6 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 6 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 6 d x$ 이므로 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 6 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$6 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [6 x]$

단계 1.1.2

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1$

단계 1.1.4

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6$

단계 1.2

$u_{1} = 6 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

단계 1.3

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u_{1} = 6 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{12}$

단계 1.5

$6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.5.1

$12$ 에서 $6$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 (2)}$

단계 1.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 6 \frac{π}{6 \cdot 2}$

단계 1.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 1.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

단계 2

$\sin^{3} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^{3} (u_{1})}{6} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{6}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\sin^{2} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

먼저 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$\cos (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

단계 6.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1})$

단계 6.2

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (0)$

단계 6.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 6.4

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

단계 6.5

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = 0$

단계 6.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

단계 6.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{0} - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{6} (\int_{1}^{0} - 1 d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} (- u_{2}]_{1}^{0} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0})$

단계 10

$- u_{2}]_{1}^{0}$ 와 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} - u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{1}^{0}$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$0$ , $1$ 일 때, $- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{6} ((- 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2.3

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 + 0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 11.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

단계 11.2.7

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 + \frac{1}{3}))$

단계 11.2.8

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 11.2.9

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} (0 - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 11.2.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

단계 11.2.11

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.2.11.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 3 + 1}{3})$

단계 11.2.11.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} (0 - \frac{- 2}{3})$

단계 11.2.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{6} (0 - - \frac{2}{3})$

단계 11.2.13

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 + 1 (\frac{2}{3}))$

단계 11.2.14

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{6} (0 + \frac{2}{3})$

단계 11.2.15

$0$ 를 $\frac{2}{3}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3}$

단계 11.2.16

$\frac{1}{6}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{6 \cdot 3}$

단계 11.2.17

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{18}$

단계 11.2.18

$2$ 및 $18$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.18.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (1)}{18}$

단계 11.2.18.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.2.18.2.1

$18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

단계 11.2.18.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 9}$

단계 11.2.18.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{9}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{9}$

소수 형태:

$0.\overline{1}$