미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2

$\cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

단계 2.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin^{2} (t) d t$

단계 3

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (t)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} 1 - \cos (2 t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} d t + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} - \cos (2 t) d t)$

단계 7

$- 1$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 t) d t)$

단계 8

먼저 $u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = 2 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$2 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t]$

단계 8.1.2

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 8.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 8.2

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 8.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 8.4

$u = 2 t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

단계 8.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

단계 8.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 8.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 9

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u))$

단계 11

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (t]_{0}^{\frac{π}{4}} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $t$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

단계 12.2

$\frac{π}{2}$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{4}) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (\frac{π}{2})) - \sin (0)))$

단계 12.3

$\frac{π}{4}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0)))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - \sin (0)))$

단계 13.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 - 0))$

단계 13.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} (1 + 0))$

단계 13.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

단계 13.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{π}{4} - \frac{1}{2})$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

단계 14.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.2.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{π}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

단계 14.2.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{8} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

단계 14.3

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.3.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{8} - \frac{1}{2 \cdot 2}$

단계 14.3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{8} - \frac{1}{4}$

소수 형태:

$0.14269908 \dots$

단계 16