미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{3 \sqrt{3}}{2}} \frac{x^{3}}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2} + 9}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

$\frac{3 \tan (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.2.2

$3 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.4

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.5.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4} + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.1.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \tan^{2} (t) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.2

$9 \tan^{2} (t) + 9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

$9 \tan^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.2.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.2.3

$9 (\tan^{2} (t)) + 9 (1)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.4

$9 \sec^{2} (t)$ 을 ${(3 \sec (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.1.5

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3}{2} \tan (t))}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{{(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{3}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$\frac{3 \tan (t)}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{{(3 \tan (t))}^{3}}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.2

$3 \tan (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{3^{3} \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{2^{3}}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.3

$\frac{\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}}{3 \sec (t)}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8} \cdot \frac{1}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.4

$\frac{27 \tan^{3} (t)}{8}$ 에 $\frac{1}{3 \sec (t)}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{8 (3 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.5

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t)}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.6

$27$ 및 $24$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.6.1

$27 \tan^{3} (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{24 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.6.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.6.2.1

$24 \sec (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.6.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{3 (9 \tan^{3} (t))}{3 (8 \sec (t))} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.6.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

단계 2.2.2.3.7

$\frac{9 \tan^{3} (t)}{8 \sec (t)}$ 에 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{9 \tan^{3} (t) (3 \sec^{2} (t))}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.2.3.8

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{8 \sec (t) \cdot 2} d t$

단계 2.2.2.3.9

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)}{16 \sec (t)} d t$

단계 2.2.2.3.10

$\sec^{2} (t)$ 및 $\sec (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.10.1

$27 \tan^{3} (t) \sec^{2} (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{16 \sec (t)} d t$

단계 2.2.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.3.10.2.1

$16 \sec (t)$ 에서 $\sec (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

단계 2.2.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sec (t) (27 \tan^{3} (t) \sec (t))}{\sec (t) \cdot 16} d t$

단계 2.2.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{27 \tan^{3} (t) \sec (t)}{16} d t$

단계 3

$\frac{27}{16}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{27}{16}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

단계 4

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 5

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{27}{16} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

단계 8

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 8.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 8.2

$u = \sec (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sec (0)$

단계 8.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 8.4

$u = \sec (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sec (\frac{π}{3})$

단계 8.5

$\sec (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $2$ 입니다.

$u_{upper} = 2$

단계 8.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 8.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{27}{16} \int_{1}^{2} - 1 + u^{2} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{27}{16} (\int_{1}^{2} - 1 d u + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} u^{2} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{27}{16} (- u]_{1}^{2} + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2})$

단계 12

$- u]_{1}^{2}$ 와 $\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{16} - u + \frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$2$ , $1$ 일 때, $- u + \frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{27}{16} ((- 1 \cdot 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{1}{3} \cdot 8 - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.3

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{16} (- 2 + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (- 2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.5

$- 2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{27}{16} (\frac{- 2 \cdot 3 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.7.1

$- 2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{- 6 + 8}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.7.2

$- 6$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3}))$

단계 13.2.9

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1))$

단계 13.2.10

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.12

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - (\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}))$

단계 13.2.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3})$

단계 13.2.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.14.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 3 + 1}{3})$

단계 13.2.14.2

$- 3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - \frac{- 2}{3})$

단계 13.2.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} - - \frac{2}{3})$

단계 13.2.16

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + 1 (\frac{2}{3}))$

단계 13.2.17

$\frac{2}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{27}{16} (\frac{2}{3} + \frac{2}{3})$

단계 13.2.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{2 + 2}{3}$

단계 13.2.19

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{27}{16} \cdot \frac{4}{3}$

단계 13.2.20

$\frac{27}{16}$ 에 $\frac{4}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{27 \cdot 4}{16 \cdot 3}$

단계 13.2.21

$27$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{108}{16 \cdot 3}$

단계 13.2.22

$16$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{108}{48}$

단계 13.2.23

$108$ 및 $48$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.23.1

$108$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 (9)}{48}$

단계 13.2.23.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.2.23.2.1

$48$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

단계 13.2.23.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \cdot 9}{12 \cdot 4}$

단계 13.2.23.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{9}{4}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{9}{4}$

소수 형태:

$2.25$

대분수 형식:

$2 \frac{1}{4}$

단계 15