미적분 예제

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} e^{x} d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (2 x) d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x)$

단계 3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 \int_{- 4}^{- 1} e^{x} (x) d x$

단계 4

$u = x$ 이고 $d v = e^{x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - \int_{- 4}^{- 1} e^{x} d x)$

단계 5

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$x^{2} e^{x}]_{- 4}^{- 1} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$- 1$ , $- 4$ 일 때, $x^{2} e^{x}$ 값을 계산합니다.

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 (x e^{x}]_{- 4}^{- 1} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

단계 6.2

$- 1$ , $- 4$ 일 때, $x e^{x}$ 값을 계산합니다.

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - (e^{x}]_{- 4}^{- 1}))$

단계 6.3

$- 1$ , $- 4$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$({(- 1)}^{2} e^{- 1}) - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

단계 6.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.4.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

단계 6.4.2

$e^{- 1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{- 1} - {(- 4)}^{2} e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

단계 6.4.3

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$e^{- 1} - 1 \cdot 16 e^{- 4} - 2 ((- e^{- 1}) + 4 e^{- 4} - ((e^{- 1}) - e^{- 4}))$

단계 6.4.4

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$e^{- 1} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - 16 e^{- 4} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - 16 \frac{1}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.3

$- 16$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e} + \frac{- 16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- e^{- 1} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 e^{- 4} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.5.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + 4 \frac{1}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.5.3

$4$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (e^{- 1} - e^{- 4}))$

단계 7.1.5.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - (\frac{1}{e} - e^{- 4}))$

단계 7.1.5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} - - e^{- 4})$

단계 7.1.5.6

$- - e^{- 4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.5.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + 1 e^{- 4})$

단계 7.1.5.6.2

$e^{- 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (- \frac{1}{e} + \frac{4}{e^{4}} - \frac{1}{e} + e^{- 4})$

단계 7.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 1 - 1}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

단계 7.1.7

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} + \frac{- 2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

단계 7.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 (e^{- 4} - \frac{2}{e} + \frac{4}{e^{4}})$

단계 7.1.9

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} - 2 (- \frac{2}{e}) - 2 \frac{4}{e^{4}}$

단계 7.1.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.10.1

$- 2 (- \frac{2}{e})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.10.1.1

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + 2 \frac{2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

단계 7.1.10.1.2

$2$ 와 $\frac{2}{e}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{2 \cdot 2}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

단계 7.1.10.1.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - 2 \frac{4}{e^{4}}$

단계 7.1.10.2

$- 2 \frac{4}{e^{4}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.10.2.1

$- 2$ 와 $\frac{4}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 2 \cdot 4}{e^{4}}$

단계 7.1.10.2.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} + \frac{- 8}{e^{4}}$

단계 7.1.11

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{e} - \frac{16}{e^{4}} - 2 e^{- 4} + \frac{4}{e} - \frac{8}{e^{4}}$

단계 7.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- 2 e^{- 4} + \frac{1 + 4}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

단계 7.3

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 16 - 8}{e^{4}}$

단계 7.4

$- 16$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$- 2 e^{- 4} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

단계 7.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.5.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{1}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

단계 7.5.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{e^{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

단계 7.5.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} + \frac{- 24}{e^{4}}$

단계 7.5.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{e^{4}} + \frac{5}{e} - \frac{24}{e^{4}}$

단계 7.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 - 24}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

단계 7.7

$- 2$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$\frac{- 26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

단계 7.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{26}{e^{4}} + \frac{5}{e}$

소수 형태:

$1.36319059 \dots$

단계 9