미적분 예제

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 1 d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{3} 5 x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 2

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{- 3}^{3} x^{3} d x + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 2 x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 5

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 \int_{- 3}^{3} x^{2} d x + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} 6 x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 8

$6$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 \int_{- 3}^{3} x d x + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + \int_{- 3}^{3} - 1 d x$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$5 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 3}^{3}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$3$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{3^{4}}{4}) - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

단계 12.2

$3$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{3}) + - x]_{- 3}^{3}$

단계 12.3

$3$ , $- 3$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 ((\frac{3^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - x]_{- 3}^{3}$

단계 12.4

$3$ , $- 3$ 일 때, $- x$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{3^{4}}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$5 (\frac{81}{4} - \frac{{(- 3)}^{4}}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.2

$- 3$ 를 $4$ 승 합니다.

$5 (\frac{81}{4} - \frac{81}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{81 - 81}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.4

$81$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$5 (\frac{0}{4}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.5

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{4 (0)}{4} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.5.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$5 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{0}{1}) + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.5.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 \cdot 0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.6

$5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 2 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.7

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 + 2 (\frac{27}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.8

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.8.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.8.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + 2 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + 2 (\frac{9}{1} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.8.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 2 (9 - \frac{{(- 3)}^{3}}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.9

$- 3$ 를 $3$ 승 합니다.

$0 + 2 (9 - \frac{- 27}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.10

$- 27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.10.1

$- 27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + 2 (9 - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + 2 (9 - \frac{- 9}{1}) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.10.2.4

$- 9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 + 2 (9 - - 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.11

$- 1$ 에 $- 9$ 을 곱합니다.

$0 + 2 (9 + 9) + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.12

$9$ 를 $9$ 에 더합니다.

$0 + 2 \cdot 18 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.13

$2$ 에 $18$ 을 곱합니다.

$0 + 36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.14

$0$ 를 $36$ 에 더합니다.

$36 + 6 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.15

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.16

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$36 + 6 (\frac{9}{2} - \frac{9}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.17

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$36 + 6 \frac{9 - 9}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.18

$9$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$36 + 6 (\frac{0}{2}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.19

$0$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.19.1

$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$36 + 6 \frac{2 (0)}{2} - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.19.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.19.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$36 + 6 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$36 + 6 (\frac{0}{1}) - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.19.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$36 + 6 \cdot 0 - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.20

$6$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$36 + 0 - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.21

$36$ 를 $0$ 에 더합니다.

$36 - 1 \cdot 3 - 3$

단계 12.5.22

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$36 - 3 - 3$

단계 12.5.23

$- 3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$36 - 6$

단계 12.5.24

$36$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$30$

단계 13