미적분 예제

$\int_{24}^{39} 2 p (10 \sqrt{x}) \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

단계 1.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.3

$\frac{5}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$\frac{5}{\sqrt{x}}$ 에 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 을 곱합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.2

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.3

$\sqrt{x}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

단계 1.4.6.5

간단히 합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + {(\frac{5 \sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

단계 1.5

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

$\frac{5 \sqrt{x}}{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{{(5 \sqrt{x})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.5.2

$5 \sqrt{x}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{5^{2} {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.1

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2

${\sqrt{x}}^{2}$ 을 $x$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.6.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.6.2.5

간단히 합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25 x}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.7

$x$ 및 $x^{2}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$25 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x^{2}}) x} d x$

단계 1.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.2.1

$x^{2}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

단계 1.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 25}{x \cdot x}) x} d x$

단계 1.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(1 + \frac{25}{x}) x} d x$

단계 1.8

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{25}{x}) x} d x$

단계 1.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{x + 25}{x} x} d x$

단계 1.10

$\frac{x + 25}{x}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

단계 1.11

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.11.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{\frac{(x + 25) x}{x}} d x$

단계 1.11.2

$x + 25$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int_{24}^{39} 20 p \sqrt{x + 25} d x$

단계 2

$20 p$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $20 p$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$20 p \int_{24}^{39} \sqrt{x + 25} d x$

단계 3

먼저 $u = x + 25$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = x + 25$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$x + 25$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 25]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [25]$

단계 3.1.4

$25$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $25$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $25$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u = x + 25$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 24 + 25$

단계 3.3

$24$ 를 $25$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 49$

단계 3.4

$u = x + 25$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 39 + 25$

단계 3.5

$39$ 를 $25$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 64$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 49$

$u_{upper} = 64$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$20 p \int_{49}^{64} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$20 p \int_{49}^{64} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$20 p \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{49}^{64}$

단계 6

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$20 p \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}]_{49}^{64}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$64$ , $49$ 일 때, $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$20 p ((\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$64$ 을 $8^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$20 p (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$20 p (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.4

$8$ 를 $3$ 승 합니다.

$20 p (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.5

$2$ 에 $512$ 을 곱합니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 49^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.6

$49$ 을 $7^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 7.2.7

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

단계 7.2.8

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.8.1

공약수로 약분합니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

단계 7.2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 7^{3}}{3})$

단계 7.2.9

$7$ 를 $3$ 승 합니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 343}{3})$

단계 7.2.10

$2$ 에 $343$ 을 곱합니다.

$20 p (\frac{1024}{3} - \frac{686}{3})$

단계 7.2.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$20 p \frac{1024 - 686}{3}$

단계 7.2.12

$1024$ 에서 $686$ 을 뺍니다.

$20 p \frac{338}{3}$

단계 7.2.13

$20$ 와 $\frac{338}{3}$ 을 묶습니다.

$p \frac{20 \cdot 338}{3}$

단계 7.2.14

$20$ 에 $338$ 을 곱합니다.

$p \frac{6760}{3}$

단계 7.2.15

$p$ 와 $\frac{6760}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{p \cdot 6760}{3}$

단계 7.2.16

$p$ 의 왼쪽으로 $6760$ 이동하기

$\frac{6760 p}{3}$

단계 8

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{6760}{3} p$

단계 9

$\frac{6760}{3}$ 와 $p$ 을 묶습니다.

$\frac{6760 p}{3}$

단계 10