미적분 예제

$\int 625 x^{3} e^{5 x} d x$

단계 1

$625$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $625$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$625 \int x^{3} e^{5 x} d x$

단계 2

$u = x^{3}$ 이고 $d v = e^{5 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$625 (x^{3} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (x^{3} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

단계 3.2

$x^{3}$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (3 x^{2}) d x)$

단계 3.3

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (3 x^{2}) d x)$

단계 3.4

$3$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x}}{5} x^{2} d x)$

단계 3.5

$\frac{3 e^{5 x}}{5}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \int \frac{3 e^{5 x} x^{2}}{5} d x)$

단계 4

$\frac{3}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{3}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - (\frac{3}{5} \int e^{5 x} x^{2} d x))$

단계 5

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{5 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (x^{2} \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

단계 6.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} (2 x) d x))$

단계 6.3

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} (2 x) d x))$

단계 6.4

$2$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x}}{5} x d x))$

단계 6.5

$\frac{2 e^{5 x}}{5}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \int \frac{2 e^{5 x} x}{5} d x))$

단계 7

$\frac{2}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - (\frac{2}{5} \int e^{5 x} x d x)))$

단계 8

$u = x$ 이고 $d v = e^{5 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

단계 9.2

$x$ 와 $\frac{e^{5 x}}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x)))$

단계 9.3

$\frac{1}{5}$ 와 $e^{5 x}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{e^{5 x}}{5} d x)))$

단계 10

$\frac{1}{5}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x))))$

단계 11

먼저 $u = 5 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 11.1

$u = 5 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 11.1.1

$5 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x]$

단계 11.1.2

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x]$

단계 11.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1$

단계 11.1.4

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5$

단계 11.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u)))$

단계 12

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u)))$

단계 13

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u))))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u)))$

단계 14.2

$5$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u)))$

단계 15

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$

단계 16

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3}{5} (\frac{x^{2} e^{5 x}}{5} - \frac{2}{5} (\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C))))$ 을 $625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{u}}{625}) + C$

단계 17

$u$ 를 모두 $5 x$ 로 바꿉니다.

$625 (\frac{x^{3} e^{5 x}}{5} - \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25} + \frac{6 x e^{5 x}}{125} - \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

분배 법칙을 적용합니다.

$625 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2

간단히 합니다.

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단계 18.2.1

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.2.1.1

$625$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$5 (125) \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$5 \cdot 125 \frac{x^{3} e^{5 x}}{5} + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 (- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.2

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.2.2.1

$- \frac{3 x^{2} e^{5 x}}{25}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 625 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.2.2

$625$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (25) \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.2.3

공약수로 약분합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 \cdot 25 \frac{- 3 x^{2} e^{5 x}}{25} + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.2.4

수식을 다시 씁니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) + 25 (- 3 x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.3

$- 3$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 625 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.4

$125$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.2.4.1

$625$ 에서 $125$ 를 인수분해합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 (5) \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.4.2

공약수로 약분합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 125 \cdot 5 \frac{6 x e^{5 x}}{125} + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.4.3

수식을 다시 씁니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 5 (6 x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.5

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 (- \frac{6 e^{5 x}}{625}) + C$

단계 18.2.6

$625$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.2.6.1

$- \frac{6 e^{5 x}}{625}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

단계 18.2.6.2

공약수로 약분합니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) + 625 \frac{- 6 e^{5 x}}{625} + C$

단계 18.2.6.3

수식을 다시 씁니다.

$125 (x^{3} e^{5 x}) - 75 (x^{2} e^{5 x}) + 30 (x e^{5 x}) - 6 e^{5 x} + C$

단계 18.3

괄호를 제거합니다.

$125 x^{3} e^{5 x} - 75 x^{2} e^{5 x} + 30 x e^{5 x} - 6 e^{5 x} + C$