미적분 예제

$\int (3 x^{2} - 1) \cos (2 x) d x$

단계 1

$u = 3 x^{2} - 1$ 이고 $d v = \cos (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(3 x^{2} - 1) (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) (6 x) d x$

단계 2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 x)$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{\sin (2 x)}{2} (6 x) d x$

단계 2.3

$6$ 와 $\frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x)}{2} x d x$

단계 2.4

$\frac{6 \sin (2 x)}{2}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{6 \sin (2 x) x}{2} d x$

단계 2.5

$6$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$6 \sin (2 x) x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2} d x$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 (1)} d x$

단계 2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{2 (3 \sin (2 x) x)}{2 \cdot 1} d x$

단계 2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{3 \sin (2 x) x}{1} d x$

단계 2.5.2.4

$3 \sin (2 x) x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - \int 3 \sin (2 x) x d x$

단계 3

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - (3 \int \sin (2 x) x d x)$

단계 4

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 \int \sin (2 x) x d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = \sin (2 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{\cos (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x)$

단계 6.3

$\cos (2 x)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 7

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} - - \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 8.2

$\int \frac{\cos (2 x)}{2} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \int \frac{\cos (2 x)}{2} d x)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

단계 10

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 10.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 10.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 10.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 11

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u)$

단계 13.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

단계 14

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$(3 x^{2} - 1) \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C))$ 을 $\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)) + C$

단계 15.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.2.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (u)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) + C$

단계 15.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 15.2.3

$- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x))}{2} + \frac{- 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 15.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 3 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4}) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 15.2.5

$2$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (u)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 16

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1

$x^{2} (3 \sin (2 x)) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.1.1

$x^{2} (3 \sin (2 x))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) - 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.1.2

$- 6 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4})$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.1.3

$3 (x^{2} (\sin (2 x))) + 3 (- 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4}))}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 (- \frac{x \cos (2 x)}{2}) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.3.1

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 2 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.3.2

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 (- 1) \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 2 \cdot - 1 \frac{- x \cos (2 x)}{2} - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) - 1 (- x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + 1 (x \cos (2 x)) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.5

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 2 \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.6.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 (- 1) \frac{\sin (2 x)}{4})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.6.2

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.6.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) + 2 \cdot - 1 \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.6.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - 1 \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.7

$- 1 \frac{\sin (2 x)}{2}$ 을 $- \frac{\sin (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (x^{2} (\sin (2 x)) + x \cos (2 x) - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.8

공통 분모를 가지는 분수로 $x^{2} (\sin (2 x))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.9

$x^{2} (\sin (2 x))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.10

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 (x \cos (2 x) + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.11

공통 분모를 가지는 분수로 $x \cos (2 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (x \cos (2 x) \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.12

$x \cos (2 x)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{3 (\frac{x \cos (2 x) \cdot 2}{2} + \frac{x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2})}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{3 \frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.14

인수분해된 형태로 $\frac{x \cos (2 x) \cdot 2 + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}$ 를 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 17.1.14.1

$x \cos (2 x)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 \frac{2 \cdot (x \cos (2 x)) + x^{2} (\sin (2 x)) \cdot 2 - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.1.14.2

$x^{2} (\sin (2 x))$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{3 \frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.2

$3$ 와 $\frac{2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2}}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.4

조합합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) \cdot 1}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.5

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{2 \cdot 2} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{3 (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x))}{4} - \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

단계 17.7

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{3}{4} (2 x \cos (2 x) + 2 x^{2} \sin (2 x) - \sin (2 x)) - \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$