미적분 예제

$\frac{1}{5 \int_{0}^{5} 5.3 \sin^{2} (w t) d t}$

단계 1

$5.3$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $5.3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5 (5.3 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t)}$

단계 2

$5.3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5} \sin^{2} (w t) d t}$

단계 3

먼저 $u_{1} = w t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = w d t$ 이므로 $\frac{1}{w} d u_{1} = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{1} = w t$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$w t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [w t]$

단계 3.1.2

$w$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $w t$ 의 미분은 $w \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$w \frac{d}{d t} [t]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$w \cdot 1$

단계 3.1.4

$w$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$w$

단계 3.2

$u_{1} = w t$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = w \cdot 0$

단계 3.3

$w$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.4

$u_{1} = w t$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = w \cdot 5$

단계 3.5

$w$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$u_{upper} = 5 w$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5 w$

단계 3.7

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{w} d u_{1}}$

단계 4

$\sin^{2} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{w}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{26.5 \int_{0}^{5 w} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{w} d u_{1}}$

단계 5

$\frac{1}{w}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{w}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{26.5 (\frac{1}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})}$

단계 6

$\frac{1}{w}$ 와 $26.5$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}}$

단계 7

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} \int_{0}^{5 w} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}}$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{w} (\frac{1}{2} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{26.5}{w}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} \int_{0}^{5 w} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}}$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (\int_{0}^{5 w} d u_{1} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} + \int_{0}^{5 w} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

단계 12

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{5 w} \cos (2 u_{1}) d u_{1})}$

단계 13

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 13.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 13.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 13.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 13.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 13.2

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 13.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 13.4

$u_{2} = 2 u_{1}$ 의 $u_{1}$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 (5 w)$

단계 13.5

$5$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 10 w$

단계 13.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10 w$

단계 13.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})}$

단계 14

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \int_{0}^{10 w} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})}$

단계 15

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{10 w} \cos (u_{2}) d u_{2}))}$

단계 16

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{10 w})}$

단계 17

$\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (u_{1}]_{0}^{5 w} - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

단계 18

대입하여 간단히 합니다.

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단계 18.1

$5 w$ , $0$ 일 때, $u_{1}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{\sin (u_{2})]_{0}^{10 w}}{2})}$

단계 18.2

$10 w$ , $0$ 일 때, $\sin (u_{2})$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} ((5 w) + 0 - \frac{(\sin (10 w)) - \sin (0)}{2})}$

단계 18.3

$5 w$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - \sin (0)}{2})}$

단계 19

간단히 합니다.

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단계 19.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) - 0}{2})}$

단계 19.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w) + 0}{2})}$

단계 19.3

$\sin (10 w)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20

간단히 합니다.

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단계 20.1

$26.5$ 에서 $26.5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20.2

$2 w$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{\frac{26.5 (1)}{2 (w)} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20.3

분수를 나눕니다.

$\frac{1}{\frac{26.5}{2} \cdot \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20.4

$26.5$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{13.25 \frac{1}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20.5

$13.25$ 와 $\frac{1}{w}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$

단계 20.6

$\frac{1}{\frac{13.25}{w} (5 w - \frac{\sin (10 w)}{2})}$ 에서 $\frac{13.25}{w}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.7

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{1 w}{13.25} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.8

$13.25$ 에서 $13.25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1 w}{13.25 (1)} \cdot \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.9

분수를 나눕니다.

$\frac{1}{13.25} \cdot \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.10

$1$ 을 $13.25$ 로 나눕니다.

$0.07547169 \frac{w}{1} \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.11

$w$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.12

$0.07547169 w \frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 20.12.1

$0.07547169$ 와 $\frac{1}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 을 묶습니다.

$w \frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.12.2

$w$ 와 $\frac{0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{w \cdot 0.07547169}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.13

$w$ 의 왼쪽으로 $0.07547169$ 이동하기

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$

단계 20.14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{1}{2} \sin (10 w)}$

단계 21

$\sin (10 w)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{0.07547169 w}{5 w - \frac{\sin (10 w)}{2}}$