미적분 예제

$\int_{0}^{6} \sqrt{2 x + 4} d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x + 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x + 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x + 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u = 2 x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 4$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 4$

단계 1.3.2

$0$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = 2 x + 4$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 \cdot 6 + 4$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 12 + 4$

단계 1.5.2

$12$ 를 $4$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 16$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 16$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{16} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{4}^{16} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} \sqrt{u} d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{16}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$16$ , $4$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $64$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.6

$2$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.7

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 6.2.8

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 6.2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

단계 6.2.10

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8)$

단계 6.2.11

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - 8 (\frac{2}{3}))$

단계 6.2.12

$- 8$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

단계 6.2.13

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} + \frac{- 16}{3})$

단계 6.2.14

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{128}{3} - \frac{16}{3})$

단계 6.2.15

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{128 - 16}{3}$

단계 6.2.16

$128$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{112}{3}$

단계 6.2.17

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{112}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{112}{2 \cdot 3}$

단계 6.2.18

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{112}{6}$

단계 6.2.19

$112$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.19.1

$112$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (56)}{6}$

단계 6.2.19.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.19.2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

단계 6.2.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 56}{2 \cdot 3}$

단계 6.2.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{56}{3}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{56}{3}$

소수 형태:

$18.\overline{6}$

대분수 형식:

$18 \frac{2}{3}$

단계 8