미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{1 + 25 x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{1}{5} \tan (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ 는 양수입니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{1 + 25 {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 {(\frac{\tan (t)}{5})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.1.2

$\frac{\tan (t)}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{5^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.1.3

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.1.4

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + 25 \frac{\tan^{2} (t)}{25}} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.2

항을 다시 배열합니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.3

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.1.4

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int {(\frac{1}{5} \tan (t))}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.2

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $\tan (t)$ 을 묶습니다.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{5} d t$

단계 2.2.1.2

$\frac{\sec^{2} (t)}{5}$ 와 $\sec (t)$ 을 묶습니다.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec (t)}{5} d t$

단계 2.2.1.3

지수를 더하여 $\sec^{2} (t)$ 에 $\sec (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1

$\sec^{2} (t)$ 에 $\sec (t)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.3.1.1

$\sec (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)}{5} d t$

단계 2.2.1.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{{\sec (t)}^{2 + 1}}{5} d t$

단계 2.2.1.3.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {(\frac{\tan (t)}{5})}^{3} \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

단계 2.2.2

$\frac{\tan (t)}{5}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{5^{3}} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

단계 2.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.3.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t)}{125} \cdot \frac{\sec^{3} (t)}{5} d t$

단계 2.2.3.2

$\frac{\tan^{3} (t)}{125}$ 에 $\frac{\sec^{3} (t)}{5}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{125 \cdot 5} d t$

단계 2.2.3.3

$125$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\tan^{3} (t) \sec^{3} (t)}{625} d t$

단계 3

$\frac{1}{625}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{625}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{625} \int \tan^{3} (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 4

$\tan^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{625} \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 5

피타고라스 항등식을 이용하여 $\tan^{2} (t)$ 를 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{625} \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{3} (t) d t$

단계 6

먼저 $u = \sec (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$u = \sec (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\sec (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

단계 6.1.2

$\sec (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\sec (t) \tan (t)$ 입니다.

$\sec (t) \tan (t)$

단계 6.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{625} \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 7

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{625} \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 8.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 8.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{625} \int - u^{2} + u^{4} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{625} (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{625} (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{625} (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

단계 13.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{625} (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u$ 를 모두 $\sec (t)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (t) + \frac{1}{5} \sec^{5} (t)) + C$

단계 14.2

$t$ 를 모두 $\arctan (5 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{625} (- \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (5 x)) + \frac{1}{5} \sec^{5} (\arctan (5 x))) + C$