미적분 예제

$f (x) = x^{12} + 4 x^{2}$

단계 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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단계 1.1

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{12} + 4 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 12$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{11} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.1.2.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$12 x^{11} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.1.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 x^{11} + 4 (2 x)$

단계 1.1.1.2.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 12 x^{11} + 8 x$

단계 1.1.2

2차 도함수를 구합니다

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $12 x^{11} + 8 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.2.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x^{11}$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x^{11}]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x^{11}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2.2.2

$n = 11$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 (11 x^{10}) + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2.2.3

$11$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$132 x^{10} + \frac{d}{d x} [8 x]$

단계 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [8 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.3.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$132 x^{10} + 8 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$132 x^{10} + 8 \cdot 1$

단계 1.1.2.3.3

$8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 132 x^{10} + 8$

단계 1.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $132 x^{10} + 8$ 입니다.

$132 x^{10} + 8$

단계 1.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $132 x^{10} + 8 = 0$ 을 풉니다.

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단계 1.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$132 x^{10} + 8 = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$132 x^{10} = - 8$

단계 1.2.3

$132 x^{10} = - 8$ 의 각 항을 $132$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.1

$132 x^{10} = - 8$ 의 각 항을 $132$ 로 나눕니다.

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.2.1

$132$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 8}{132}$

단계 1.2.3.2.1.2

$x^{10}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x^{10} = \frac{- 8}{132}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 1.2.3.3.1

$- 8$ 및 $132$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.1

$- 8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{10} = \frac{4 (- 2)}{132}$

단계 1.2.3.3.1.2

공약수로 약분합니다.

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단계 1.2.3.3.1.2.1

$132$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

단계 1.2.3.3.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{10} = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 33}$

단계 1.2.3.3.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{10} = \frac{- 2}{33}$

단계 1.2.3.3.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x^{10} = - \frac{2}{33}$

단계 1.2.4

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 지정된 제곱근을 취합니다.

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$

단계 1.2.5

$\pm \sqrt[10]{- \frac{2}{33}}$ 을 간단히 합니다.

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단계 1.2.5.1

$- 1$ 을 $i^{10}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{2}{33}}$

단계 1.2.5.2

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{2}{33}}$

단계 1.2.5.3

$\sqrt[10]{\frac{2}{33}}$ 을 $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

단계 1.2.5.4

$i$ 와 $\frac{\sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$ 을 묶습니다.

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

단계 1.2.6

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 1.2.6.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

단계 1.2.6.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

단계 1.2.6.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}, - \frac{i \sqrt[10]{2}}{\sqrt[10]{33}}$

단계 2

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 3

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \infty)$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

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단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 132 {(0)}^{10} + 8$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f'' (0) = 132 \cdot 0 + 8$

단계 4.2.1.2

$132$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 + 8$

단계 4.2.2

$0$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f'' (0) = 8$

단계 4.2.3

최종 답은 $8$ 입니다.

$8$

단계 4.3

$f'' (0)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

위로 오목한 그래프

단계 5