미적분 예제

$x e^{- 3 x}$

단계 1

$x e^{- 3 x}$ 을 함수로 씁니다.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

단계 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.1

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- 3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.2.3

$u$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.3.3.1

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3.3.2

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.1.3.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

단계 2.1.1.3.5

$e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

단계 2.1.1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1.4.1

항을 다시 정렬합니다.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

단계 2.1.1.4.2

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

단계 2.1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x e^{- 3 x}$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ 입니다.

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.2

$f (x) = x$ , $g (x) = e^{- 3 x}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.3

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.2.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.3.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.4

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.6

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.7

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.8

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.2.9

$e^{- 3 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

단계 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 3 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{2}$ 를 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 2.1.2.3.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 은 $a^{u_{2}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 2.1.2.3.1.3

$u_{2}$ 를 모두 $- 3 x$ 로 바꿉니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 2.1.2.3.2

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

단계 2.1.2.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

단계 2.1.2.3.4

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

단계 2.1.2.3.5

$e^{- 3 x}$ 의 왼쪽으로 $- 3$ 이동하기

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

단계 2.1.2.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

단계 2.1.2.4.2

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.4.2.1

$- 3$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

단계 2.1.2.4.2.2

$- 3 e^{- 3 x}$ 에서 $3 e^{- 3 x}$ 을 뺍니다.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

단계 2.1.2.4.3

항을 다시 정렬합니다.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

단계 2.1.2.4.4

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

단계 2.1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ 입니다.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

단계 2.2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

단계 2.2.2

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ 에서 $3 e^{- 3 x}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$9 x e^{- 3 x}$ 에서 $3 e^{- 3 x}$ 를 인수분해합니다.

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

단계 2.2.2.2

$- 6 e^{- 3 x}$ 에서 $3 e^{- 3 x}$ 를 인수분해합니다.

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

단계 2.2.2.3

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ 에서 $3 e^{- 3 x}$ 를 인수분해합니다.

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

단계 2.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

단계 2.2.4

$e^{- 3 x}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.1

$e^{- 3 x}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$e^{- 3 x} = 0$

단계 2.2.4.2

$e^{- 3 x} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.4.2.1

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

단계 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ 이(가) 정의되지 않으므로 방정식을 풀 수 없습니다.

정의되지 않음

단계 2.2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ 에 대한 해가 없습니다.

해 없음

단계 2.2.5

$3 x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.1

$3 x - 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 2 = 0$

단계 2.2.5.2

$3 x - 2 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.1

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$3 x = 2$

단계 2.2.5.2.2

$3 x = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.1

$3 x = 2$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

단계 2.2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

단계 2.2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{2}{3}$

단계 2.2.6

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{2}{3}$

단계 3

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${x | x \in ℝ}$

단계 4

2차 도함수가 0이거나 정의되지 않은 $x$ -값 주변에 구간을 만듭니다.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, \frac{2}{3})$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$9$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

단계 5.2.1.2

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

단계 5.2.1.3

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

단계 5.2.1.4

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

단계 5.2.1.5

$- 3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

단계 5.2.1.6

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

단계 5.2.1.7

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (0) = 0 - 6$

단계 5.2.2

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (0) = - 6$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 6$ 입니다.

$- 6$

단계 5.3

$f'' (0)$ 이 음수이므로 그래프는 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 구간에서 아래로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 에서 아래로 오목함

단계 6

$(\frac{2}{3}, \infty)$ 구간에 속한 임의의 수를 2차 도함수에 대입하여 값을 계산하고 오목도를 결정합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

단계 6.2.1.2

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

단계 6.2.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

단계 6.2.1.4

$27$ 와 $\frac{1}{e^{9}}$ 을 묶습니다.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

단계 6.2.1.5

$- 3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

단계 6.2.1.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

단계 6.2.1.7

$- 6$ 와 $\frac{1}{e^{9}}$ 을 묶습니다.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

단계 6.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

단계 6.2.2

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

단계 6.2.2.2

$27$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

단계 6.2.3

최종 답은 $\frac{21}{e^{9}}$ 입니다.

$\frac{21}{e^{9}}$

단계 6.3

$f'' (3)$ 이 양수이므로 그래프는 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 7

2차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 2차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

$f'' (x)$ 가 음수이므로 $(- \infty, \frac{2}{3})$ 에서 아래로 오목함

$f'' (x)$ 가 양수이므로 $(\frac{2}{3}, \infty)$ 에서 위로 오목함

단계 8