미적분 예제

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$

단계 1

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $8 x^{5} - 5 x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [8 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $8 x^{5}$ 의 미분은 $8 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

단계 1.1.2.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 8 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

단계 1.1.2.3

$5$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 40 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{4}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

단계 1.1.3.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 40 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

단계 1.1.3.3

$4$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 40 x^{4} - 20 x^{3}$

단계 1.2

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

합의 법칙에 의해 $40 x^{4} - 20 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [40 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (40 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

단계 1.2.2

$\frac{d}{d x} [40 x^{4}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$40$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $40 x^{4}$ 의 미분은 $40 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 입니다.

$f'' (x) = 40 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

단계 1.2.2.2

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 40 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

단계 1.2.2.3

$4$ 에 $40$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 160 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

단계 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 20$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 20 x^{3}$ 의 미분은 $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

단계 1.2.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 160 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

단계 1.2.3.3

$3$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 160 x^{3} - 60 x^{2}$

단계 1.3

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $160 x^{3} - 60 x^{2}$ 입니다.

$160 x^{3} - 60 x^{2}$

단계 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

2차 도함수를 $0$ 과(와) 같게 합니다.

$160 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

단계 2.2

$160 x^{3} - 60 x^{2}$ 에서 $20 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$160 x^{3}$ 에서 $20 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$20 x^{2} (8 x) - 60 x^{2} = 0$

단계 2.2.2

$- 60 x^{2}$ 에서 $20 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

단계 2.2.3

$20 x^{2} (8 x) + 20 x^{2} (- 3)$ 에서 $20 x^{2}$ 를 인수분해합니다.

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x^{2} = 0$

$8 x - 3 = 0$

단계 2.4

$x^{2}$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x^{2}$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x^{2} = 0$

단계 2.4.2

$x^{2} = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

단계 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.2.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 0$

단계 2.4.2.2.3

플러스 마이너스 $0$ 은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.5

$8 x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$8 x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$8 x - 3 = 0$

단계 2.5.2

$8 x - 3 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$8 x = 3$

단계 2.5.2.2

$8 x = 3$ 의 각 항을 $8$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$8 x = 3$ 의 각 항을 $8$ 로 나눕니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{8 x}{8} = \frac{3}{8}$

단계 2.5.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{3}{8}$

단계 2.6

$20 x^{2} (8 x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, \frac{3}{8}$

단계 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = 8 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 8 \cdot 0 - 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2.1.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 - 5 {(0)}^{4}$

단계 3.1.2.1.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 5 \cdot 0$

단계 3.1.2.1.4

$- 5$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

단계 3.1.2.2

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

단계 3.1.2.3

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3.2

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

단계 3.3

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 에 $\frac{3}{8}$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{3}{8}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 {(\frac{3}{8})}^{5} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

$\frac{3}{8}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{3^{5}}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.2

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8^{5}}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.3

$8$ 를 $5$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{32768}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.4

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.4.1

$32768$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 (4096)}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.4.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3}{8}) = 8 (\frac{243}{8 \cdot 4096}) - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.4.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 {(\frac{3}{8})}^{4}$

단계 3.3.2.1.5

$\frac{3}{8}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{3^{4}}{8^{4}}$

단계 3.3.2.1.6

$3$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 \frac{81}{8^{4}}$

단계 3.3.2.1.7

$8$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - 5 (\frac{81}{4096})$

단계 3.3.2.1.8

$- 5 (\frac{81}{4096})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.8.1

$- 5$ 와 $\frac{81}{4096}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 5 \cdot 81}{4096}$

단계 3.3.2.1.8.2

$- 5$ 에 $81$ 을 곱합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} + \frac{- 405}{4096}$

단계 3.3.2.1.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243}{4096} - \frac{405}{4096}$

단계 3.3.2.2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{243 - 405}{4096}$

단계 3.3.2.2.2

$243$ 에서 $405$ 을 뺍니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 162}{4096}$

단계 3.3.2.2.3

$- 162$ 및 $4096$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.3.1

$- 162$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 (- 81)}{4096}$

단계 3.3.2.2.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.3.2.1

$4096$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

단계 3.3.2.2.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{2 \cdot - 81}{2 \cdot 2048}$

단계 3.3.2.2.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{3}{8}) = \frac{- 81}{2048}$

단계 3.3.2.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{3}{8}) = - \frac{81}{2048}$

단계 3.3.2.3

최종 답은 $- \frac{81}{2048}$ 입니다.

$- \frac{81}{2048}$

단계 3.4

$f (x) = 8 x^{5} - 5 x^{4}$ 에 $\frac{3}{8}$ 을 대입하여 구한 점은 $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

단계 3.5

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

단계 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{3}{8}) \cup (\frac{3}{8}, \infty)$

단계 5

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = 160 {(- 0.1)}^{3} - 60 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$- 0.1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = 160 \cdot - 0.001 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2.1.2

$160$ 에 $- 0.001$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 {(- 0.1)}^{2}$

단계 5.2.1.3

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 60 \cdot 0.01$

단계 5.2.1.4

$- 60$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.16 - 0.6$

단계 5.2.2

$- 0.16$ 에서 $0.6$ 을 뺍니다.

$f'' (- 0.1) = - 0.76$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 0.76$ 입니다.

$- 0.76$

단계 5.3

$- 0.1$ 에서의 2차 미분값은 $- 0.76$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 감소함

단계 6

$(0, \frac{3}{8})$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.1875$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1875) = 160 {(0.1875)}^{3} - 60 {(0.1875)}^{2}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$0.1875$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.1875) = 160 \cdot 0.00659179 - 60 {(0.1875)}^{2}$

단계 6.2.1.2

$160$ 에 $0.00659179$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 {(0.1875)}^{2}$

단계 6.2.1.3

$0.1875$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 60 \cdot 0.03515625$

단계 6.2.1.4

$- 60$ 에 $0.03515625$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1875) = 1.0546875 - 2.109375$

단계 6.2.2

$1.0546875$ 에서 $2.109375$ 을 뺍니다.

$f'' (0.1875) = - 1.0546875$

단계 6.2.3

최종 답은 $- 1.0546875$ 입니다.

$- 1.0546875$

단계 6.3

$0.1875$ 에서의 2차 미분값은 $- 1.0546875$ 입니다. 이 값이 음수이므로 2차 도함수는 $(0, \frac{3}{8})$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, \frac{3}{8})$ 에서 감소함

단계 7

$(\frac{3}{8}, \infty)$ 구간에 속한 값을 2차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0.475$ 을 대입합니다.

$f'' (0.475) = 160 {(0.475)}^{3} - 60 {(0.475)}^{2}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0.475$ 를 $3$ 승 합니다.

$f'' (0.475) = 160 \cdot 0.10717187 - 60 {(0.475)}^{2}$

단계 7.2.1.2

$160$ 에 $0.10717187$ 을 곱합니다.

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 {(0.475)}^{2}$

단계 7.2.1.3

$0.475$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.475) = 17.1475 - 60 \cdot 0.225625$

단계 7.2.1.4

$- 60$ 에 $0.225625$ 을 곱합니다.

$f'' (0.475) = 17.1475 - 13.5375$

단계 7.2.2

$17.1475$ 에서 $13.5375$ 을 뺍니다.

$f'' (0.475) = 3.61$

단계 7.2.3

최종 답은 $3.61$ 입니다.

$3.61$

단계 7.3

$0.475$ 에서의 이계도함수는 $3.61$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이계도함수는 $(\frac{3}{8}, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(\frac{3}{8}, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$ 입니다.

$(\frac{3}{8}, - \frac{81}{2048})$

단계 9