미적분 예제

$f (x) = \sqrt{x + 1}$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})$

단계 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ , $g (x) = x + 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.2.3

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.4

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.6

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.6.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.7

분수를 통분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 와 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$f' (x) = \frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.7.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1)$

단계 1.1.8

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.9

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1))$

단계 1.1.10

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

단계 1.1.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.11.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

단계 1.1.11.2

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 입니다.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

단계 2.2

분자가 0과 같게 만듭니다.

$1 = 0$

단계 2.3

$1 \neq 0$ 이므로, 해가 존재하지 않습니다.

해 없음

단계 3

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않았다면 원래 문제의 정의역에는 $x$ 값이 존재하지 않습니다.

임계점 없음

단계 4

도함수가 정의되지 않은 위치를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

분수 지수가 있는 식을 근호로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

규칙 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 을 적용하여 지수 형태를 근호로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 1)}^{1}}}$

단계 4.1.2

모든 수의 $1$ 승은 밑 자체입니다.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

단계 4.2

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$2 \sqrt{x + 1} = 0$

단계 4.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

방정식의 좌변의 근호를 없애기 위해 방정식 양변을 제곱합니다.

${(2 \sqrt{x + 1})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2

방정식의 각 변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x + 1}$ 을(를) ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

${(2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.1

$2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2^{2} {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$4 {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$4 {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$4 {(x + 1)}^{1} = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.4

간단히 합니다.

$4 (x + 1) = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.5

분배 법칙을 적용합니다.

$4 x + 4 \cdot 1 = 0^{2}$

단계 4.3.2.2.1.6

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 x + 4 = 0^{2}$

단계 4.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$4 x + 4 = 0$

단계 4.3.3

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.1

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$4 x = - 4$

단계 4.3.3.2

$4 x = - 4$ 의 각 항을 $4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.1

$4 x = - 4$ 의 각 항을 $4$ 로 나눕니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

단계 4.3.3.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

단계 4.3.3.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{4}$

단계 4.3.3.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.3.2.3.1

$- 4$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$x = - 1$

단계 4.4

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\sqrt{x + 1}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 작게 설정해야 합니다.

$x + 1 < 0$

단계 4.5

부등식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x < - 1$

단계 4.6

분모가 $0$ 이거나 제곱근의 인수가 $0$ 보다 작거나 또는 로그의 진수가 $0$ 보다 작거나 같은 경우 식이 정의되지 않습니다.

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

$x \leq - 1$

$(- \infty, - 1]$

단계 5

도함수 $f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 구간에서 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 6

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {((- 2) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1.1

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 6.2.1.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

단계 6.2.1.3

지수값을 계산합니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

단계 6.2.1.4

$\sqrt{- 1}$ 을 $i$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i}$

단계 6.2.2

분모를 실수로 만들려면 $\frac{1}{2 i}$ 의 분자와 분모에 $2 i$ 의 켤레복소수를 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

단계 6.2.3

곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.1

조합합니다.

$f' (- 2) = \frac{1 i}{2 i i}$

단계 6.2.3.2

$i$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i i}$

단계 6.2.3.3

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.3.3.1

괄호를 표시합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.2

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.3

$i$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 (i i)}$

단계 6.2.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

단계 6.2.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 i^{2}}$

단계 6.2.3.3.6

$i^{2}$ 을 $- 1$ 로 바꿔 씁니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{2 \cdot - 1}$

단계 6.2.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = \frac{i}{- 2}$

단계 6.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f' (- 2) = - \frac{i}{2}$

단계 6.2.6

최종 답은 $- \frac{i}{2}$ 입니다.

$- \frac{i}{2}$

단계 6.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- \frac{i}{2}$ 입니다. 허수를 포함하기에 해당 함수는 $(- \infty, - 1)$ 에서 존재하지 않습니다.

$f' (x)$ 이 허수이기 때문에 해당 함수는 $(- \infty, - 1)$ 에서 존재하지 않습니다.

단계 7

$(- 1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = \frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

단계 7.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f' (0) = \frac{1}{2 \cdot 1}$

단계 7.2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (0) = \frac{1}{2}$

단계 7.2.3

최종 답은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 7.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $\frac{1}{2}$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, \infty)$ 에서 증가함

단계 8

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, \infty)$

단계 9