미적분 예제

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

단계 1

임계점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x + e^{- 4 x}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

단계 1.1.1.1.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

단계 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = - 4 x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1.2.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.1.2.1.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.1.2.1.3

$u$ 를 모두 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 1.1.1.2.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.1.2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

단계 1.1.1.2.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

단계 1.1.1.2.5

$e^{- 4 x}$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

단계 1.1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $1 - 4 e^{- 4 x}$ 입니다.

$1 - 4 e^{- 4 x}$

단계 1.2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

단계 1.2.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

단계 1.2.3

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 1.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 1.2.3.2.1.2

$e^{- 4 x}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

단계 1.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.3.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

단계 1.2.4

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

단계 1.2.5

왼편을 확장합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$- 4 x$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{- 4 x})$ 을 전개합니다.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

단계 1.2.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

단계 1.2.5.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

단계 1.2.6

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ 의 각 항을 $- 4$ 로 나눕니다.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

단계 1.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$- 4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

단계 1.2.6.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

단계 1.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

단계 1.3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 1.4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $x + e^{- 4 x}$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

$x$ 에 $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ 를 대입합니다.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

단계 1.4.1.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ 을 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ 로 바꿔 씁니다.

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

단계 1.4.1.2.2

$\frac{1}{4}$ 를 로그 안으로 옮겨 $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ 을 간단히 합니다.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

단계 1.4.1.2.3

$\frac{1}{4}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

단계 1.4.1.2.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

단계 1.4.1.2.5

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.5.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

단계 1.4.1.2.5.2

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

단계 1.4.1.2.5.3

공약수로 약분합니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

단계 1.4.1.2.5.4

수식을 다시 씁니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

단계 1.4.1.2.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

단계 1.4.1.2.7

$\ln (\frac{1}{4})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

단계 1.4.1.2.8

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

단계 1.4.2

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

단계 2

포함된 끝점에서 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x = - 2$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

단계 2.1.2

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 2 + e^{8}$

단계 2.2

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

단계 2.2.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

$- 4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$3 + e^{- 12}$

단계 2.2.2.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

단계 2.3

모든 점을 나열합니다.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

단계 3

주어진 구간에서 절대 최댓값과 최솟값을 결정하기 위하여 각 $x$ 값에 대해 구한 $f (x)$ 값을 비교합니다. 가장 큰 $f (x)$ 값에서 최댓값이 발생하고 가장 작은 $f (x)$ 값에서 최솟값이 발생합니다.

절댓값 최대: $(- 2, - 2 + e^{8})$

절댓값 최소: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

단계 4