미적분 예제

$y = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

단계 1

$y$ 를 $x$ 의 함수로 둡니다 .

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$

단계 2

도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.2.3

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3 + 0$

단계 2.4.2

$3 x^{2} - 10 x + 3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3$

단계 3

도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ 이고 합이 $b = - 10$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$- 10 x$ 에서 $- 10$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$

단계 3.1.1.2

$- 10$ 를 $- 1$ + $- 9$ 로 다시 씁니다.

$3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3 = 0$

단계 3.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3 = 0$

단계 3.1.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3 = 0$

단계 3.1.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1) = 0$

단계 3.1.3

최대공약수 $3 x - 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$

단계 3.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 3.3

$3 x - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

$3 x - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x - 1 = 0$

단계 3.3.2

$3 x - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$3 x = 1$

단계 3.3.2.2

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

$3 x = 1$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

단계 3.3.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{1}{3}$

단계 3.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 3.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 3.5

$(3 x - 1) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = \frac{1}{3}, 3$

단계 4

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ 을 $x = \frac{1}{3}$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

$f (\frac{1}{3}) = {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.3

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.5

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.6

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - 5 (\frac{1}{9}) + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.7

$- 5$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{- 5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.9.1

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 3 (\frac{1}{3}) + 1$

단계 4.2.1.9.2

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 + 1$

단계 4.2.2

공통분모를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$\frac{5}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - (\frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 1 + 1$

단계 4.2.2.2

$\frac{5}{9}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 1 + 1$

단계 4.2.2.3

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} + 1$

단계 4.2.2.4

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + 1$

단계 4.2.2.5

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + 1$

단계 4.2.2.6

$1$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1}$

단계 4.2.2.7

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27}$

단계 4.2.2.8

$\frac{1}{1}$ 에 $\frac{27}{27}$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

단계 4.2.2.9

$9 \cdot 3$ 인수를 다시 정렬합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

단계 4.2.2.10

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27} + \frac{27}{27} + \frac{27}{27}$

단계 4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 5 \cdot 3 + 27 + 27}{27}$

단계 4.2.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

$- 5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1 - 15 + 27 + 27}{27}$

단계 4.2.4.2

$1$ 에서 $15$ 을 뺍니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 14 + 27 + 27}{27}$

단계 4.2.4.3

$- 14$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{13 + 27}{27}$

단계 4.2.4.4

$13$ 를 $27$ 에 더합니다.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{40}{27}$

단계 4.2.5

최종 답은 $\frac{40}{27}$ 입니다.

$\frac{40}{27}$

단계 5

원래 함수 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ 을 $x = 3$ 에서 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $3$ 을 대입합니다.

$f (3) = {(3)}^{3} - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (3) = 27 - 5 {(3)}^{2} + 3 (3) + 1$

단계 5.2.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$f (3) = 27 - 5 \cdot 9 + 3 (3) + 1$

단계 5.2.1.3

$- 5$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$f (3) = 27 - 45 + 3 (3) + 1$

단계 5.2.1.4

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (3) = 27 - 45 + 9 + 1$

단계 5.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$27$ 에서 $45$ 을 뺍니다.

$f (3) = - 18 + 9 + 1$

단계 5.2.2.2

$- 18$ 를 $9$ 에 더합니다.

$f (3) = - 9 + 1$

단계 5.2.2.3

$- 9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (3) = - 8$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 8$ 입니다.

$- 8$

단계 6

함수 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 1$ 의 수평 접선은 $y = \frac{40}{27}, y = - 8$ 입니다.

$y = \frac{40}{27}, y = - 8$

단계 7