미적분 예제

$2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 \cos (x)$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.1.2.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.1.2.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \cos (x)$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 는 $n u^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3.1.3

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

단계 1.1.4

항을 다시 정렬합니다.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ 입니다.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

단계 2.2

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 2 \cos (x) \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

단계 2.2.2

$- 2 \sin (x)$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

단계 2.2.3

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ 에서 $2 \sin (x)$ 를 인수분해합니다.

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

단계 2.4

$\sin (x)$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 2.4.1

$\sin (x)$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$\sin (x) = 0$

단계 2.4.2

$\sin (x) = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$x = \arcsin (0)$

단계 2.4.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 2.4.2.3

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $π$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$x = π - 0$

단계 2.4.2.4

$π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 2.4.2.5

$\sin (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.5.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.4.2.5.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.4.2.5.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.4.2.5.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.4.2.6

함수 $\sin (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 2.5

$- \cos (x) - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$- \cos (x) - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- \cos (x) - 1 = 0$

단계 2.5.2

$- \cos (x) - 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$- \cos (x) = 1$

단계 2.5.2.2

$- \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.1

$- \cos (x) = 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.2.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

단계 2.5.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.2.3.1

$1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = - 1$

단계 2.5.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (- 1)$

단계 2.5.2.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.4.1

$\arccos (- 1)$ 의 정확한 값은 $π$ 입니다.

$x = π$

단계 2.5.2.5

코사인 함수는 제2사분면과 제3사분면에서 음의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제3사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - π$

단계 2.5.2.6

$2 π$ 에서 $π$ 을 뺍니다.

$x = π$

단계 2.5.2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 2.5.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 2.5.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 2.5.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 2.5.2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π + 2 π n$

단계 2.6

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, π + 2 π n$

단계 2.7

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = π n$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 0$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $0$ 를 대입합니다.

$2 \cos (0) + \cos^{2} (0)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 \cdot 1 + \cos^{2} (0)$

단계 4.1.2.1.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \cos^{2} (0)$

단계 4.1.2.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 + 1^{2}$

단계 4.1.2.1.4

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$2 + 1$

단계 4.1.2.2

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$3$

단계 4.2

$x = π$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $π$ 를 대입합니다.

$2 \cos (π) + \cos^{2} (π)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$2 (- \cos (0)) + \cos^{2} (π)$

단계 4.2.2.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (- 1 \cdot 1) + \cos^{2} (π)$

단계 4.2.2.1.3

$2 (- 1 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.3.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \cdot - 1 + \cos^{2} (π)$

단계 4.2.2.1.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 + \cos^{2} (π)$

단계 4.2.2.1.4

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- 2 + {(- \cos (0))}^{2}$

단계 4.2.2.1.5

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

단계 4.2.2.1.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 + {(- 1)}^{2}$

단계 4.2.2.1.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2 + 1$

단계 4.2.2.2

$- 2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 1$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $(0 + 2 π n, 3), (π + 2 π n, - 1)$

단계 5