미적분 예제

$f (x) = {(x - 8)}^{2} (x + 9)$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

${(x - 8)}^{2}$ 을 $(x - 8) (x - 8)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [(x - 8) (x - 8) (x + 9)]$

단계 1.1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x - 8) (x - 8)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 8) - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

단계 1.1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

단계 1.1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

단계 1.1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

단계 1.1.3.1.2

$x$ 의 왼쪽으로 $- 8$ 이동하기

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

단계 1.1.3.1.3

$- 8$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x - 8 x + 64) (x + 9)]$

단계 1.1.3.2

$- 8 x$ 에서 $8 x$ 을 뺍니다.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 16 x + 64) (x + 9)]$

단계 1.1.4

$f (x) = x^{2} - 16 x + 64$ , $g (x) = x + 9$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 16 x + 64) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

합의 법칙에 의해 $x + 9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ 가 됩니다.

$(x^{2} - 16 x + 64) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5.3

$9$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $9$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $9$ 입니다.

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.4.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(x^{2} - 16 x + 64) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5.4.2

$x^{2} - 16 x + 64$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

단계 1.1.5.5

합의 법칙에 의해 $x^{2} - 16 x + 64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64]$ 가 됩니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

단계 1.1.5.6

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

단계 1.1.5.7

$- 16$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 16 x$ 의 미분은 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64])$

단계 1.1.5.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64])$

단계 1.1.5.9

$- 16$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} [64])$

단계 1.1.5.10

$64$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $64$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $64$ 입니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + 0)$

단계 1.1.5.11

$2 x - 16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16)$

단계 1.1.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

단계 1.1.6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

단계 1.1.6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4

항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.6.4.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.5

$2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.6

$x$ 의 왼쪽으로 $- 16$ 이동하기

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 \cdot x + 9 \cdot - 16$

단계 1.1.6.4.7

$9$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 x - 144$

단계 1.1.6.4.8

$18 x$ 에서 $16 x$ 을 뺍니다.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 2 x - 144$

단계 1.1.6.4.9

$x^{2}$ 를 $2 x^{2}$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 16 x + 64 + 2 x - 144$

단계 1.1.6.4.10

$- 16 x$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$3 x^{2} - 14 x + 64 - 144$

단계 1.1.6.4.11

$64$ 에서 $144$ 을 뺍니다.

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 80$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $3 x^{2} - 14 x - 80$ 입니다.

$3 x^{2} - 14 x - 80$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

단계 2.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = 3 \cdot - 80 = - 240$ 이고 합이 $b = - 14$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 14 x$ 에서 $- 14$ 를 인수분해합니다.

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

단계 2.2.1.2

$- 14$ 를 $10$ + $- 24$ 로 다시 씁니다.

$3 x^{2} + (10 - 24) x - 80 = 0$

단계 2.2.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$3 x^{2} + 10 x - 24 x - 80 = 0$

단계 2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$(3 x^{2} + 10 x) - 24 x - 80 = 0$

단계 2.2.2.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$x (3 x + 10) - 8 (3 x + 10) = 0$

단계 2.2.3

최대공약수 $3 x + 10$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(3 x + 10) (x - 8) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$3 x + 10 = 0$

$x - 8 = 0$

단계 2.4

$3 x + 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$3 x + 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$3 x + 10 = 0$

단계 2.4.2

$3 x + 10 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$3 x = - 10$

단계 2.4.2.2

$3 x = - 10$ 의 각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.1

$3 x = - 10$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

단계 2.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

단계 2.4.2.2.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 10}{3}$

단계 2.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.2.3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{10}{3}$

단계 2.5

$x - 8$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 8$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 8 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $8$ 를 더합니다.

$x = 8$

단계 2.6

$(3 x + 10) (x - 8) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - \frac{10}{3}, 8$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 ${(x - 8)}^{2} (x + 9)$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = - \frac{10}{3}$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $- \frac{10}{3}$ 를 대입합니다.

${((- \frac{10}{3}) - 8)}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

${(- \frac{10}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.2

$- 8$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

${(- \frac{10}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

${(\frac{- 10 - 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.4.1

$- 8$ 에 $3$ 을 곱합니다.

${(\frac{- 10 - 24}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.4.2

$- 10$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

${(\frac{- 34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

${(- \frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.6

지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.6.1

$- \frac{34}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} {(\frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.6.2

$\frac{34}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

${(- 1)}^{2} \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.7

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$1 \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.8

$\frac{34^{2}}{3^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.9

$34$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1156}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.10

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1156}{9} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

단계 4.1.2.11

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

단계 4.1.2.12

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

단계 4.1.2.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 9 \cdot 3}{3}$

단계 4.1.2.14

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.14.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 27}{3}$

단계 4.1.2.14.2

$- 10$ 를 $27$ 에 더합니다.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$

단계 4.1.2.15

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.15.1

$\frac{1156}{9}$ 에 $\frac{17}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1156 \cdot 17}{9 \cdot 3}$

단계 4.1.2.15.2

$1156$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$\frac{19652}{9 \cdot 3}$

단계 4.1.2.15.3

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{19652}{27}$

단계 4.2

$x = 8$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $8$ 를 대입합니다.

${((8) - 8)}^{2} ((8) + 9)$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$0^{2} ((8) + 9)$

단계 4.2.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$0 ((8) + 9)$

단계 4.2.2.3

$8$ 를 $9$ 에 더합니다.

$0 \cdot 17$

단계 4.2.2.4

$0$ 에 $17$ 을 곱합니다.

$0$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(- \frac{10}{3}, \frac{19652}{27}), (8, 0)$

단계 5