미적분 예제

$f (x) = - 2 x^{3} + 39 x^{2} - 180 x + 4$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

합의 법칙에 의해 $- 2 x^{3} + 39 x^{2} - 180 x + 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{3}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.2.3

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [39 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$39$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $39 x^{2}$ 의 미분은 $39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 6 x^{2} + 39 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x^{2} + 39 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $39$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{2} + 78 x + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 180 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$- 180$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 180 x$ 의 미분은 $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.4.3

$- 180$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 + \frac{d}{d x} [4]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.5.1

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 + 0$

단계 1.1.5.2

$- 6 x^{2} + 78 x - 180$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = - 6 x^{2} + 78 x - 180$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $- 6 x^{2} + 78 x - 180$ 입니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $- 6 x^{2} + 78 x - 180 = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 = 0$

단계 2.2

방정식의 좌변을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 6 x^{2} + 78 x - 180$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$- 6 x^{2}$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x^{2} + 78 x - 180 = 0$

단계 2.2.1.2

$78 x$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x^{2} - 6 (- 13 x) - 180 = 0$

단계 2.2.1.3

$- 180$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$- 6 x^{2} - 6 (- 13 x) - 6 \cdot 30 = 0$

단계 2.2.1.4

$- 6 (x^{2}) - 6 (- 13 x)$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$- 6 (x^{2} - 13 x) - 6 \cdot 30 = 0$

단계 2.2.1.5

$- 6 (x^{2} - 13 x) - 6 (30)$ 에서 $- 6$ 를 인수분해합니다.

$- 6 (x^{2} - 13 x + 30) = 0$

단계 2.2.2

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 13 x + 30$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $30$ 이고 합은 $- 13$ 입니다.

$- 10, - 3$

단계 2.2.2.1.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$- 6 ((x - 10) (x - 3)) = 0$

단계 2.2.2.2

불필요한 괄호를 제거합니다.

$- 6 (x - 10) (x - 3) = 0$

단계 2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 10 = 0$

$x - 3 = 0$

단계 2.4

$x - 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$x - 10$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 10 = 0$

단계 2.4.2

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$x = 10$

단계 2.5

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 2.5.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 2.6

$- 6 (x - 10) (x - 3) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 10, 3$

단계 3

도함수가 정의되지 않은 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 4

도함수가 $0$ 이거나 정의되지 않은 각 $x$ 값에서 $- 2 x^{3} + 39 x^{2} - 180 x + 4$ 을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x = 10$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$x$ 에 $10$ 를 대입합니다.

$- 2 {(10)}^{3} + 39 {(10)}^{2} - 180 \cdot 10 + 4$

단계 4.1.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1.1

$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2 \cdot 1000 + 39 {(10)}^{2} - 180 \cdot 10 + 4$

단계 4.1.2.1.2

$- 2$ 에 $1000$ 을 곱합니다.

$- 2000 + 39 {(10)}^{2} - 180 \cdot 10 + 4$

단계 4.1.2.1.3

$10$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 2000 + 39 \cdot 100 - 180 \cdot 10 + 4$

단계 4.1.2.1.4

$39$ 에 $100$ 을 곱합니다.

$- 2000 + 3900 - 180 \cdot 10 + 4$

단계 4.1.2.1.5

$- 180$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$- 2000 + 3900 - 1800 + 4$

단계 4.1.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.2.1

$- 2000$ 를 $3900$ 에 더합니다.

$1900 - 1800 + 4$

단계 4.1.2.2.2

$1900$ 에서 $1800$ 을 뺍니다.

$100 + 4$

단계 4.1.2.2.3

$100$ 를 $4$ 에 더합니다.

$104$

단계 4.2

$x = 3$ 일 때 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$- 2 {(3)}^{3} + 39 {(3)}^{2} - 180 \cdot 3 + 4$

단계 4.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1.1

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2 \cdot 27 + 39 {(3)}^{2} - 180 \cdot 3 + 4$

단계 4.2.2.1.2

$- 2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$- 54 + 39 {(3)}^{2} - 180 \cdot 3 + 4$

단계 4.2.2.1.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- 54 + 39 \cdot 9 - 180 \cdot 3 + 4$

단계 4.2.2.1.4

$39$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- 54 + 351 - 180 \cdot 3 + 4$

단계 4.2.2.1.5

$- 180$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- 54 + 351 - 540 + 4$

단계 4.2.2.2

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.2.1

$- 54$ 를 $351$ 에 더합니다.

$297 - 540 + 4$

단계 4.2.2.2.2

$297$ 에서 $540$ 을 뺍니다.

$- 243 + 4$

단계 4.2.2.2.3

$- 243$ 를 $4$ 에 더합니다.

$- 239$

단계 4.3

모든 점을 나열합니다.

$(10, 104), (3, - 239)$

단계 5