미적분 예제

$f (x) = (- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 x - 5)$ , $x = 0$

단계 1

$f (x) = - 5 x^{2} - 5 x - 2$ , $g (x) = - 4 x - 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 4 x - 5] + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2

미분합니다.

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단계 2.1

합의 법칙에 의해 $- 4 x - 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 가 됩니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.5

$- 5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 5$ 입니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) (- 4 + 0) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.6

식을 간단히 합니다.

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단계 2.6.1

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$(- 5 x^{2} - 5 x - 2) \cdot - 4 + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.6.2

$- 5 x^{2} - 5 x - 2$ 의 왼쪽으로 $- 4$ 이동하기

$- 4 \cdot (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} - 5 x - 2]$

단계 2.7

합의 법칙에 의해 $- 5 x^{2} - 5 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.8

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x^{2}$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.9

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.10

$2$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.11

$- 5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 5 x$ 의 미분은 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.12

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.13

$- 5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

단계 2.14

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5 + 0)$

단계 2.15

$- 10 x - 5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 4 (- 5 x^{2} - 5 x - 2) + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x - 5)$

단계 3.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 + (- 4 x - 5) (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

단계 3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) + (- 4 x - 5) \cdot - 5$

단계 3.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5

항을 묶습니다.

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단계 3.5.1

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} - 4 (- 5 x) - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.2

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x - 4 \cdot - 2 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.3

$- 4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 - 4 x (- 10 x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.4

$- 10$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x \cdot x - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.5

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.6

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.7

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{1 + 1} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.8

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} - 5 (- 10 x) - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.9

$- 10$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x - 4 x \cdot - 5 - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.10

$- 5$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x - 5 \cdot - 5$

단계 3.5.11

$- 5$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 50 x + 20 x + 25$

단계 3.5.12

$50 x$ 를 $20 x$ 에 더합니다.

$20 x^{2} + 20 x + 8 + 40 x^{2} + 70 x + 25$

단계 3.5.13

$20 x^{2}$ 를 $40 x^{2}$ 에 더합니다.

$60 x^{2} + 20 x + 8 + 70 x + 25$

단계 3.5.14

$20 x$ 를 $70 x$ 에 더합니다.

$60 x^{2} + 90 x + 8 + 25$

단계 3.5.15

$8$ 를 $25$ 에 더합니다.

$60 x^{2} + 90 x + 33$

단계 4

$x = 0$ 일 때 도함수의 값을 계산합니다.

$60 {(0)}^{2} + 90 (0) + 33$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$60 \cdot 0 + 90 (0) + 33$

단계 5.1.2

$60$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 90 (0) + 33$

단계 5.1.3

$90$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 0 + 33$

단계 5.2

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 33$

단계 5.2.2

$0$ 를 $33$ 에 더합니다.

$33$