미적분 예제

$x \sqrt{64 - x^{2}}$

단계 1

무리수 그래프를 그리기 위해 $x$ 의 값을 선택하여 점들의 위치를 구합니다. 먼저, $y = x \sqrt{64 - x^{2}}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(8 + x) (8 - x) \geq 0$

단계 1.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$8 + x = 0$

$8 - x = 0$

단계 1.2.2

$8 + x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$8 + x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$8 + x = 0$

단계 1.2.2.2

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$x = - 8$

단계 1.2.3

$8 - x$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.1

$8 - x$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$8 - x = 0$

단계 1.2.3.2

$8 - x = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.1

방정식의 양변에서 $8$ 를 뺍니다.

$- x = - 8$

단계 1.2.3.2.2

$- x = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.1

$- x = - 8$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 8}{- 1}$

단계 1.2.3.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.3.2.2.3.1

$- 8$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 8$

단계 1.2.4

$(8 + x) (8 - x) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 8, 8$

단계 1.2.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 8$

$- 8 < x < 8$

$x > 8$

단계 1.2.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.1.1

$x < - 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 10$

단계 1.2.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 10$ 로 치환합니다.

$(8 - 10) (8 - (- 10)) \geq 0$

단계 1.2.6.1.3

좌변 $- 36$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.6.2

$- 8 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.2.1

$- 8 < x < 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 1.2.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$(8 + 0) (8 - (0)) \geq 0$

단계 1.2.6.2.3

좌변 $64$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 1.2.6.3

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.6.3.1

$x > 8$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 10$

단계 1.2.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $10$ 로 치환합니다.

$(8 + 10) (8 - (10)) \geq 0$

단계 1.2.6.3.3

좌변 $- 36$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 1.2.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

$x < - 8$ 거짓

$- 8 < x < 8$ 참

$x > 8$ 거짓

단계 1.2.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 8 \leq x \leq 8$

단계 1.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$[- 8, 8]$

조건제시법:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

구간 표기:

$[- 8, 8]$

조건제시법:

${x | - 8 \leq x \leq 8}$

단계 2

끝점을 구하기 위해, 정의역에 속한 $x$ 값의 경계값을 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 8$ 을 대입합니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

단계 2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{(8 - 8) (8 - (- 8))}$

단계 2.2.2

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 - (- 8))}$

단계 2.2.3

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 (8 + 8)}$

단계 2.2.4

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0 \cdot 16}$

단계 2.2.5

$0$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0}$

단계 2.2.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 8) = - 8 \sqrt{0^{2}}$

단계 2.2.7

0을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.7.1

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 8) = - 8 \cdot 0$

단계 2.2.7.2

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (- 8) = 0$

단계 2.2.8

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 2.3

수식에서 변수 $x$ 에 $8$ 을 대입합니다.

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

단계 2.4

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

괄호를 제거합니다.

$f (8) = 8 \sqrt{(8 + 8) (8 - (8))}$

단계 2.4.2

$8$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - (8))}$

단계 2.4.3

$- 1$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (8) = 8 \sqrt{16 (8 - 8)}$

단계 2.4.4

$8$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$f (8) = 8 \sqrt{16 \cdot 0}$

단계 2.4.5

$16$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (8) = 8 \sqrt{0}$

단계 2.4.6

$0$ 을 $0^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (8) = 8 \sqrt{0^{2}}$

단계 2.4.7

0을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.7.1

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (8) = 8 \cdot 0$

단계 2.4.7.2

$8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (8) = 0$

단계 2.4.8

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

단계 3

끝점은 $(- 8, 0), (8, 0)$ 입니다.

$(- 8, 0), (8, 0)$

단계 4

정의역에서 여러 개의 $x$ 값을 선택합니다. 무리식 끝점의 $x$ 값에 가까운 값을 선택하는 것이 좋습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$x$ 값인 $- 5$ 를 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 5, - 5 \sqrt{39})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 5$ 을 대입합니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

단계 4.1.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{(8 - 5) (8 - (- 5))}$

단계 4.1.2.2

$8$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 - (- 5))}$

단계 4.1.2.3

$- 1$ 에 $- 5$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 (8 + 5)}$

단계 4.1.2.4

$8$ 를 $5$ 에 더합니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{3 \cdot 13}$

단계 4.1.2.5

$3$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$f (- 5) = - 5 \sqrt{39}$

단계 4.1.2.6

최종 답은 $- 5 \sqrt{39}$ 입니다.

$y = - 5 \sqrt{39}$

단계 4.2

$x$ 값인 $- 2$ 를 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(- 2, - 4 \sqrt{15})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

단계 4.2.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{(8 - 2) (8 - (- 2))}$

단계 4.2.2.2

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 - (- 2))}$

단계 4.2.2.3

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 (8 + 2)}$

단계 4.2.2.4

$8$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{6 \cdot 10}$

단계 4.2.2.5

$6$ 에 $10$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{60}$

단계 4.2.2.6

$60$ 을 $2^{2} \cdot 15$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.2.6.1

$60$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{4 (15)}$

단계 4.2.2.6.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

단계 4.2.2.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (- 2) = - 2 (2 \sqrt{15})$

단계 4.2.2.8

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f (- 2) = - 4 \sqrt{15}$

단계 4.2.2.9

최종 답은 $- 4 \sqrt{15}$ 입니다.

$y = - 4 \sqrt{15}$

단계 4.3

$x$ 값인 $1$ 를 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(1, 3 \sqrt{7})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

단계 4.3.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (1) = 1 \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

단계 4.3.2.2

$\sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \sqrt{(8 + 1) (8 - (1))}$

단계 4.3.2.3

$8$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1) = \sqrt{9 (8 - (1))}$

단계 4.3.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (1) = \sqrt{9 (8 - 1)}$

단계 4.3.2.5

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1) = \sqrt{9 \cdot 7}$

단계 4.3.2.6

$9$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f (1) = \sqrt{63}$

단계 4.3.2.7

$63$ 을 $3^{2} \cdot 7$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.7.1

$63$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$f (1) = \sqrt{9 (7)}$

단계 4.3.2.7.2

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (1) = \sqrt{3^{2} \cdot 7}$

단계 4.3.2.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (1) = 3 \sqrt{7}$

단계 4.3.2.9

최종 답은 $3 \sqrt{7}$ 입니다.

$y = 3 \sqrt{7}$

단계 4.4

$x$ 값인 $4$ 를 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(4, 16 \sqrt{3})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

단계 4.4.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{(8 + 4) (8 - (4))}$

단계 4.4.2.2

$8$ 를 $4$ 에 더합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - (4))}$

단계 4.4.2.3

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{12 (8 - 4)}$

단계 4.4.2.4

$8$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$f (4) = 4 \sqrt{12 \cdot 4}$

단계 4.4.2.5

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{48}$

단계 4.4.2.6

$48$ 을 $4^{2} \cdot 3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.2.6.1

$48$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$f (4) = 4 \sqrt{16 (3)}$

단계 4.4.2.6.2

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f (4) = 4 \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

단계 4.4.2.7

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f (4) = 4 (4 \sqrt{3})$

단계 4.4.2.8

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f (4) = 16 \sqrt{3}$

단계 4.4.2.9

최종 답은 $16 \sqrt{3}$ 입니다.

$y = 16 \sqrt{3}$

단계 4.5

$x$ 값인 $7$ 를 $f (x) = x \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ 에 대입합니다. 여기에서 점은 $(7, 7 \sqrt{15})$ 입니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $7$ 을 대입합니다.

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

단계 4.5.2

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

괄호를 제거합니다.

$f (7) = 7 \sqrt{(8 + 7) (8 - (7))}$

단계 4.5.2.2

$8$ 를 $7$ 에 더합니다.

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - (7))}$

단계 4.5.2.3

$- 1$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f (7) = 7 \sqrt{15 (8 - 7)}$

단계 4.5.2.4

$8$ 에서 $7$ 을 뺍니다.

$f (7) = 7 \sqrt{15 \cdot 1}$

단계 4.5.2.5

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f (7) = 7 \sqrt{15}$

단계 4.5.2.6

최종 답은 $7 \sqrt{15}$ 입니다.

$y = 7 \sqrt{15}$

단계 4.6

제곱근 그래프는 꼭짓점 $(- 8, 0), (8, 0), (- 5, - 31.22), (- 2, - 15.49), (1, 7.94), (4, 27.71), (7, 27.11)$ 주변의 점들을 이용하여 그릴 수 있습니다.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 8 & 0 \\ - 5 & - 31.22 \\ - 2 & - 15.49 \\ 1 & 7.94 \\ 4 & 27.71 \\ 7 & 27.11 \\ 8 & 0 \end{array}$

단계 5